Numerické řešení spektrální úlohy pro Dirichletův laplacián na oblastech v $\mathbb{R}^2$

školitel: Ing. Matěj Tušek, Ph.D., Ing. Tomáš Oberhuber, Ph.D.
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
klíčová slova: matematická fyzika, nodální čáry, Dirichletův laplacián
přiložený soubor: ikona pdf
popis: Uvažujme ne nutně kruhovou membránu bubnu. Otázka nalezení jejích resonančních frekvencí patří mezi klasické problémy matematické fyziky. Vedle samotných frekvencí je přirozené se ptát po odpovídajících módech, tj. funkcích popisujících výchylku membrány v kolmém směru. Velké pozornosti se těší křivky (tzv. nodální čáry), na nichž tato výchylka zůstává v čase nulová. Matematicky lze nakonec problém nalezení rezonančních frekvencí a módů formulovat jako úlohu na vlastní čísla a funkce Dirichletova laplaciánu na oblasti $\Omega$, jejíž tvar je dán tvarem membrány, \begin{align*} -\Delta\psi=\lambda\psi&\quad\text{v }\Omega\\ \psi=0&\quad\text{na }\partial\Omega. \end{align*} Je známo, že první vlastní funkce tohoto problému nemění na $\Omega$ znaménko a druhá vlastní funkce rozděluje $\Omega$ na právě dvě podoblasti tak, že na jedné je kladná a na druhé záporná. Hranice mezi těmito podoblastmi je právě nodální čára. Existuje několik tříd oblastí, pro které bylo ukázáno, že nodální čára druhé vlastní funkce nemůže být uzavřená křivka, nýbrž musí začínat a končit na hranici oblasti $\Omega$. V takovém případě budeme říkat, že platí tzv. nodální hypotéza. Úkolem studenta bude v první fázi numericky ověřit nodální hypotézu pro vybrané oblasti, o kterých se ví, zda na nich platí či neplatí. Tím se nevyvrátí :) spolehlivost numerické metody. Dále bude zkoumat meze platnosti nodální hypotézy pro dal\-ší vybrané oblasti, které nejsou doposud zachyceny v existujících analytických výsledcích.
naposledy změněno: 04.06.2014 15:19:11

za obsah této stránky zodpovídá: Radek Fučík | naposledy změněno: 12.9.2011
Trojanova 13, 120 00 Praha 2, tel. 224 358 540, pevná linka 224 923 098, fax 234 358 643
České vysoké učení technické v Praze | Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská | Katedra matematiky