Turingův model prostorového uspořádání a vliv geometrie
| advisor: | Ing. Václav Klika, Ph.D., Mgr. Michal Kozák |
| e-mail: | show e-mail |
| type: | bachelor thesis, master thesis |
| branch of study: | MI_MM, MI_AMSM |
| key words: | prostorové uspořádání, difuzí poháněná nestabilita, lineární analýza stability |
| link: | http://mafia.fjfi.cvut.cz/download/TIsphereMAFIA.pdf |
| attached file: | 
pdf
|
| description: | Mechanismus difuzí způsobené (Turingovy) nestability homogenního stacionárního řešení v reakčně-difuzních (RD) rovnicích se od vydání Turingova článku v roce 1952 hojně užívá v mnoha vědních disciplínách k modelování vzniku prostorového uspořádání, například ve vývojové biologii a ekologii (morfogeneze, pigmentace ryb, vegetační pruhy v krajině) či chemii (chemické reakce, růst krystalů v tuhnoucích slitinách). Předmětem této práce je prověřit Turingův koncept vzniku prostorového uspořádání uvažováním nestandardní geometrie. Cílem je pomocí teorie lineární stability najít podmínky pro Turingovu nestabilitu na sféře a porovnat s klasickými podmínkami. Téma též volně navazuje na několikaletý matematicko-biologický seminář na Matematickém ústavu AV. Detailnější popis práce je představen níže uvedenou osnovou, která doplňuje získávané poznatky v průběhu celého studia umožňující jejich lepší porozumění a které si tak student postupně osvojí: 1. Seznámení se s konceptem difuzí poháněné nestablity a role okrajových podmínek v nich. 2. Seznámení se s konceptem lineární analýzy stability a spektrální teorií (kdy má Laplaceův operátor čistě bodové spektrum a tedy jeho vlastní funkce tvoří ortonormální bázi v Hilbertově prostoru $mathrm{L}^2(Omega)$). 3. Analyticky nalézt vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru na sféře o poloměru $R$. Možnost řešit tuto úlohu i numericky pomocí spektrálních metod, např v Matlabu. 4. Jaký mód (vlastní funkce) se projeví ve vzniku prostorového uspořádání, srovnat s klasickými výsledky v Turingově nestabilitě (viz 1.). 5. Porovnat vliv velikosti oblasti na výsledný vzor (najít vhodný parametr pro toto srovnání). Existuje kritická velikost koule, pod kterou nelze docílit prostorového uspořádání (tak tomu je u klasického Turinga)? 6. Prozkoumání role okrajových podmínek: u sféry nejsou, srovnat s vlivem okrajových podmínek ve standardním přístupu (za analogickou situaci neexistence okrajových podmínek u sféry lze uvažovat periodické okrajové podmínky; další nápady). 7. Shrnutí, důsledky pro Turingův koncept prostorové organizace, modelování zbarvení šelem či rakovinových metastází. 8. Možné rozšíření - neuvažovat poloměr $R$ jako pevný, v čase neměnný parametr, ale uvažovat skutečný růst oblasti (lineární, exponenciální, logistický). |
| references: | [1] Margaret Beck. A brief introduction to stability theory for linear pdes. http://math.bu.edu/ people/mabeck/lin_stab_minicourse_2012.pdf, 2012. Accessed: 2014-04-11. [2] Mark AJ Chaplain, Mahadevan Ganesh, and Ivan G Graham. Spatio-temporal pattern formation on spherical surfaces: numerical simulation and application to solid tumour growth. Journal of mathematical biology, 42(5):387{423, 2001. [3] E Brian Davies and Edward Brian Davies. Spectral theory and di erential operators, volume 42. Cambridge University Press, 1996. [4] David Eric Edmunds and WD Evans. Spectral theory and di erential operators. Oxford, 1987. [5] V. Klika, R.E. Baker, D. Headon, and E.A. Ga ney. The in uence of receptor-mediated interactions on reaction-di usion mechanisms of cellular self-organisation. Bull math biol, 74(4):935{957, 2012. [6] M. Kozak. Bifurkace v matematickych modele v biologii. Master\'s thesis, MFF UK, 2013. [7] A. Madzvamuse, E.A. Ga ney, and P.K. Maini. Stability analysis of non-autonomous reaction- di usion systems: the e ects of growing domains. J math biol, 61(1):133{164, 2010. [8] JD Murray. Mathematical biology, volume 2. springer, 2002. [9] Mikhail Aleksandrovich Shubin and Stig Ingvar Andersson. Pseudodi erential operators and spectral theory. Springer, 1987. [10] Lloyd N Trefethen. Spectral methods in MATLAB, volume 10. Siam, 2000. [11] A. Turing. The chemical basis of morphogenesis. Phil. Trans. R. Soc. Lond. B, 237:37{72, 1952. |
| last update: | 14.11.2019 11:00:10 |
administrator for this page:
Ľubomíra Dvořáková | last update: 09/12/2011