Matematické modelování a numerická simulace růstu krystalů
| advisor: | Ing. Pavel Strachota, Ph.D. |
| e-mail: | show e-mail |
| type: | bachelor thesis, master thesis |
| branch of study: | MI_MM |
| key words: | fázové přechody, růst krystalů, numerické metody, paralelizace, phase-field |
| link: | http://saint-paul.fjfi.cvut.cz |
| description: | Krystalická struktura materiálu má zásadní vliv na jeho mechanické vlastnosti. U nás ve skupině matematického modelování (MMG) má simulace procesů fázových přechodů v materiálech dlouhou tradici. Podrobně jsme se věnovali simulaci růstu krystalů a tvorby dendritických (chaotických rozvětvených) struktur při tuhnutí kovů. Podobně lze zkoumat procesy tání a nebo i komplikovanější procesy ve slitinách, jejichž primární hnací silou není přestup tepla (vznik tzv. martenzitických struktur). Pro matematický popis těchto procesů na úrovni kontinua (kdy nelze rozlišit jednotlivé částice) existuje několik přístpů, které lze použít: řešení úloh s volnou hranicí, vrstevnicová metoda (level set) nebo metoda fázového pole (phase field). Pro konkrétní fyzikální situace je potřeba zvolit vhodnou metodu, formulovat konkrétní matematický problém založený na soustavě parciálních diferenciálních rovnic a tento problém následně efektivně numericky řešit. Lze se též zabývat matematickou analýzou problému, jejímž výsledkem jsou podmínky řešitelnosti soustavy a matematické vlastnosti jejího řešení. Z teoretického hlediska neméně zajímavé jsou i detaily odvození jednotlivých modelů, sahající hluboko do statistické fyziky či variačního počtu. Metodu fázového pole lze též zkoumat z hlediska tzv. formální asymptotické analýzy. Téma je dostatečně rozsáhlé pro práci v průběhu několika let. Student během své bakalářské práce pronikne do základů matematického modelování a numerické simulace některé jednoduché varianty problému. Pro názornost je vhodné formulovat problém nejprve ve dvou rozměrech, kde hranice mezi fázemi netvoří plochy, ale křivky. Dalším krokem je implementace numerického schématu, které tento problém řeší. V dalších letech (VÚ, DP) je možné přejít ke komplikovanějším variantám problému a zejména se věnovat implementaci numerických řešičů ve 3D, kdy značné výpočetní a paměťové nároky vyžadují použití paralelizace a neuniformních adaptivních numerických sítí. Téma je vhodné pro studenty matematiky A, kteří se zároveň nebojí programování. Když se pustíte do práce, tak po chvíli pochopíte, k čemu v praxi ta matematika je :-) |
| references: | [1] Beneš, M. Computational Studies of Anisotropic Diffuse Interface Model of Microstructure Formation in Solidification. Acta Math. Univ. Comenianae, 2007, 76, 39-59.
[2] Barrett, J. W.; Garcke, H. & Nürnberg, R. On Stable Parametric Finite Element Methods For The Stefan Problem and the Mullins-Sekerka Problem with Applications to Dendritic Growth. J. Comput. Phys., 2010, 229, 6270-6299. [3] Strachota, P. Analysis and Application of Numerical Methods for Solving Nonlinear Reaction-Diffusion Equations. Dissertation, Czech Technical University in Prague, 2012. [4] Strachota, P., Wodecki, A., Beneš, M.: Focusing the latent heat release in 3D phase field simulations of dendritic crystal growth. Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 29 065009 (2021). |
| last update: | 13.04.2022 14:53:45 |
administrator for this page:
Ľubomíra Dvořáková | last update: 09/12/2011