Miloslav Znojil, DrSc. (externí spolupracovník)

Miloslav Znojil - fotografie
e-mail: zobrazit e-mail
telefon: +420 266 173 286
www: http://gemma.ujf.cas.cz/~znojil
instituce: ÚJF, AV ČR
adresa: Řež 130, 250 68 Řež
 

témata prací

Nestandardní součiny ortogonálních polynomů

školitel: Miloslav Znojil, DrSc
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce
zaměření: MI_MM, II_TS
klíčová slova: ortogonální polynomy, vektorový prostor, skalární součin, matice metriky
odkaz: http://gemma.ujf.cas.cz/~znojil
popis: Téma je koncipováno jednak jako krátkodobější aktivita zaměřená na hlubší studium systematiky a vlastností ortogonálních polynomů a jednak jako možný úvod do budoucího důkladnějšího studia vybraných partií funkcionální analýzy. V rámci samotné bakalářské práce se předpokládá především shrnutí (a, v případě ctižádostivějšího studenta, i odhalení a popis několika možných zobecnění) řady nedávných publikovaných výsledků týkajících se ortogonálních polynomů klasických. Druhá polovina práce by měla tyto výsledky rozšířit na některé vybrané třídy ortogonálních polynomů obecnějších a mohla by vést případně i k publikaci v mezinárodním odborném časopise.
literatura: [1] M. Znojil a H. B. Geyer, PT −symmetric quantum systems with positive P (arXiv: 1201.5058 ). [2] M. Znojil, Gegenbauer-solvable quantum chain model Phys. Rev. A 82 (2010) 052113 [3] http://dlmf.nist.gov/18
poznámka: vhodné pro studenty matematiky A s potenciálním budoucím zájmem o matematické aspekty kvantové teorie
naposledy změněno: 05.03.2012 19:19:11

Řešení maticových verzí Dieudonného rovnice

školitel: Miloslav Znojil, DrSc
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM, MI_AMSM, II_TS
klíčová slova: lineární algebra, kryptohermitovské matice, symbolické manipulace, nenumerické extrapolace
odkaz: http://gemma.ujf.cas.cz/~znojil
popis: Projekt je navržen jako úvodní část širšího projektu s obdobným názvem. V rámci bakalářské práce je záběr zúžen na určité třídy konečnědimenzionálních matic H s reálnými vlastními hodnotami. Pozornost bude věnována především řešení některých specifických otázek spojených s tzv. Dysonovou modifikací skalárních součinů. Tu bude student chápat buď jako přechod k budoucí problematice samosdružené isospektrální representace daných operátorů v Hilbertových prostorech s nekonečnou dimenzí (a tím se dostane velmi blízko k problematice tzv.PT-symetrických Hamiltoniánů v rámci nedávného zobecnění kvantové teorie), nebo jako neunitární diskrétní zobecnění zobecněné Fourierovy transformace při dané konečné dimenzi matic, s následným možným nasměrováním svého budoucího zájmu k získání nenumerických výsledků v rámci lineární algebry. V obou případech se předpokládá, že se student seznámí s technikami nenumerických konstrukcí a extrapolací a s některými jejich nedávno publikovanými výsledky. Ty se pokusí doplnit (např. poskytnutím důkazů existujících hypotéz) nebo rozšířit (mj. s využitím počítačově realizovaných symbolických manipulací),
literatura: [1] M. Znojil, \"Quantum inner-product metrics via recurrent solution of Dieudonne equation.\" J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012) 085302, arXiv: 1201.2263 [2] M. Znojil, \"Quantum Big Bang without fine-tuning in a toy-model\" Journal of Physics: Conference Series 343 (2012) 012136 (20 pp.), arXiv: 1105.1282
poznámka: vhodné pro studenty se zájmem o matematické aspekty kvantové teorie nebo o fyzikální aspekty matematické teorie operátorů či matic; studenti TS by v tomto rámci mohli vypracovat i práci diplomovou.
naposledy změněno: 05.03.2012 20:26:18

Exceptional points

školitel: Miloslav Znojil, DrSc
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM, MI_AMSM, II_TS
klíčová slova: teorie analytických funkcí, funkcionální analýza, analytické aspekty spektrální teorie, algebraická geometrie,
odkaz: http://gemma.ujf.cas.cz/~znojil
popis: Projekt je velmi flexibilní, v rámci bakalářské práce je záběr pouze zúžen na jednodušší třídy operátorů. Matematicky orientovaná část studia bude zaměřena na získání nejrůznějších charakteristik souborů diskrétních vlastních (a, obecně, komplexních) hodnot zadaných operátorů (například kvantových Hamiltoniánů nebo posunovacích operátorů v klasické optice) v závislosti na určitých volitelných komplexních parametrech (například tzv. vazbových konstantách). Hlavní důraz bude kladen na (například topologický, poruchový nebo algebraický) popis vlastností těch variet těchto parametrů (v kontextu poruchové teorie se jim říká “exceptional points”), na nichž dochází k degeneraci (obecně, komplexních) uvedených vlastních hodnot. Student se - podle vlastní volby - seznámí s vhodnou částí existující literatury a pokusí se dále rozvinout některé dávno i nedávno publikované matematické nápady (se slibnou vůní nové, kvantové formy teorie katastrof). Zbude-li mu čas a síly i na nějaké aplikace ve fyzice, tím lépe.
literatura: [1] M. Znojil, \"N-site-lattice analogues of V(x)=i x^3\" Annals of Physics 327 (2012) 893 – 913, arXiv: 1111.0484 [2] M. Znojil, \"Decays of degeneracies in PT-symmetric ring-shaped lattices\" Physics Letters A 375 (2011), pp. 3435-3441, arXiv:1108.0620 [3] M. Znojil, ``Horizons of stability\'. J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 244027, arXiv: 0801.0359
poznámka: vhodné pro všechny studenty s hlubším zájmem o studium možné souhry mezi algebraickými a analytickými (a případně i topologickými) aspekty teorie spekter. Nalezení fyzikálních aplikací vítáno (značka: není podmínkou).
naposledy změněno: 05.03.2012 21:12:24

Rozmazané alias kryptohermitovské kvantové grafy

školitel: Miloslav Znojil, DrSc
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM, MI_AMSM, II_TS
klíčová slova: kvantová mechanika, pohyb částic po žebrech grafů, nelokální interakce, rozmazaná (=„smeared“) lokalizace, efektivní ne
odkaz: http://gemma.ujf.cas.cz/~znojil
popis: Projekt je náročnější na přípravné studium - bude nutno se v rozumném rozsahu seznámit jak se základy standardní teorie kvantových grafů, tak i se základy kryptohermitovské verze kvantové teorie. Přínosem bude i pouhé klasifikační nebo rešeršní zpracování této syntézy. Uvítán bude každý úspěšný pokus o přenos (tj. zobecnění) hojně se vyskytujících vět platných pro obvyklé kvantové grafy do mladé oblasti nehermitovské kvantové teorie grafů. Povolena budou rovněž nejrůznější zjednodušení obecného zadání, tolerovány budou i heuristické návrhy a jiné produkty nerigorózních metod pokusu a omylu. Získání jakýchkoli nových poznatků jdoucích nad rámec rešerše bude v rámci bakalářské práce nepovinné. Po jejím sepsání by bylo nudícímu se studentovi nicméně doporučeno například počítačově asistované experimentování s typologií spekter konkrétních modelů, a to především v diskrétních aproximacích. Ještě vzdálenějších cílů by pak bylo hned několik, včetně, výhledově, něčeho jako kvantová teorie katastrof.
literatura: [1] M. Znojil, Fundamental length in quantum theories with PT-symmetric Hamiltonians II: The case of quantum graphs. Phys. Rev. D. 80 (2009) 105004, arXiv:0910.2560. [2] M. Znojil, Cryptohermitian Hamiltonians on graphs Int. J. Theor. Phys. 50 (2011) 1052 - 1059 (arXiv:1008.2082) [3] M. Znojil, Cryptohermitian Hamiltonians on graphs. II. Hermitizations. Int. J. Theor. Phys. 50 (2011) 1614 - 1627. (arXiv:1101.1015)
poznámka: náročnější téma, vhodné především pro studenty se zájmem o badatelský pohyb v neznámém terénu. Volba tohoto tématu není bez rizik, ale mohla by uspokojit ctižádostivější jedince. Jedním z možných navazujících transbakalářských projektů by bylo zobecňování existujících kapitol rigorózní spektrální teorie, jeho alternativou by bylo investigatívní prozkoumávání některých dnes ještě zcela otevřených otázek.
naposledy změněno: 06.03.2012 15:19:39

Pokus o klasifikaci katastrof v kvantových systémech

školitel: Miloslav Znojil, DrSc.
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: dizertační práce
zaměření: MI_MM
klíčová slova: funkcionální analýza, konstruktívní algebraické metody, analytické funkce, spektrální teorie
odkaz: http://gemma.ujf.cas.cz/~znojil
popis: Díky nejnovějšímu vývoji v oblasti abstraktní kvantové teorie lze pohlížet na unitární evoluci libovolného kvantového systému jako na proces, který je determinován jednak naší volbou generátoru evoluce H (tj. Hamiltoniánu) a jednak naší Hamiltoniánem již částečně vymezenou volbou metriky Θ v příslušném fyzikálním Hilbertově prostoru H. V takové formulaci teorie (viz. [1]) lze matematické konzistence mezi volbou H a Θ dosáhnout pouze uvnitř určité fyzikální oblasti volitelných parametrů D. Tím se pro aplikace kvantové teorie otevírají rozsáhlé nové možnosti. Tématem navrženého doktorandského studia bude analýza vhodných kvantových systémů a modelů v okolí hranice oblasti D. Uchazeči bude doporučeno navázat na dosavadní výsledky získané nedávno školitelem se spoluautory (viz. např. [2] – [8]).
literatura: [1] M. Znojil, Time-dependent version of cryptohermitian quantum theory. Phys. Rev. D 78 (2008) 085003 (arXiv:0809.2874). [2] M. Znojil, A return to observability near exceptional points in a schematic PT-symmetric model. Phys. Lett. B 647 (2007) 225 – 230 (quant-ph/0701232). [3] M. Znojil, Conditional observability. Phys. Lett. B 650 (2007) 440 – 446 (arXiv:0704.3812). [4] J.-H. Chen, E. Pelantová and M. Znojil, Classification of the conditionally observable spectra exhibiting central symmetry. Phys. Lett. A 372 (2008) 1986-1989 (arXiv: 0711.3947). [5] M. Znojil, Horizons of stability. J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 244027 (arXiv: 0801.0359). [6] F. Bagarello and M. Znojil, Non linear pseudo-bosons versus hidden Hermiticity. J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011) 415305 (arXiv: 1109.0605). [7] M. Znojil, Quantum catastrophes: a case study. J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012) 444036 (arXiv: 1206.6000).
poznámka: -
naposledy změněno: 21.03.2013 13:00:12

Nestandardní poruchové metody a nehermitovské modely v kvantové mechanice

školitel: RNDr. Miloslav Znojil, DrSc.
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: dizertační práce
zaměření: MI_MM
popis: Vedle tzv. skrytě hermitovských kvantových Hamiltoniánů (jejichž praktická použitelnost byla odhalena již před vice než půl stoletím) se nedávno staly značně populárními i modely kvantových systémů v nichž operátory pozorovatelných veličin měly formu pokazatelně nehermitizovatelnou. Cílem doktorandského studia obou těchto do jisté miry paralelních přístupů bude jejich vzájemné – a to především metodické – obohacení. Konkrétně se zaměříme na získávání kvantitativních fenomenologicky motivovaných předpovědí založených na používání i zobecňování obvyklých i méně obvyklých metod poruchových, jakož i některých jejich neporuchových alternativ. Hlavní důraz bude položen na aplikace, a to především v rámci relativistické kvantové mechaniky.
literatura: [1] Albeverio S and Kuzhel S, PT-symmetric operators in quantum mechanics: Krein spaces methods. in Non-Selfadjoint Operators in Quantum Physics: Mathematical Aspects, ed F Bagarello et al (New York: Wiley, 2015), pp 293–344.
[2] Mostafazadeh A, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 7 (2010) 1191 - 1306. F. J. Dyson, General Theory of Spin-Wave Interactions, Phys. Rev. 102 (1956), 1217-1230.
[3] Nimrod Moiseyev, \"Non-Hermitian Quantum Mechanics\", Cambridge University Press, 2011.
naposledy změněno: 13.05.2016 11:27:29

za obsah této stránky zodpovídá: Radek Fučík | naposledy změněno: 7.8.2011
Trojanova 13, 120 00 Praha 2, tel. 224 358 540, pevná linka 224 923 098, fax 234 358 643
České vysoké učení technické v Praze | Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská | Katedra matematiky