Axiomy teorie množin, relace, uspořádání, ekvivalence množin, podobnost množin, princip dobrého uspořádání, axiom výběru, princip maximality, ordinální a kardinální čísla.

Pologrupy, grupy, cyklické grupy, kongruence, faktorgrupoidy, homomorfismy, normální podgrupy, grupy permutací.Okruhy, obory integrity, tělesa, kongruence, faktorokruhy, homomorfismy, ideály, moduly, lineární algebry, podílové těleso, charakteristika, prvotěleso, okruhy polynomů nad komutativními tělesy, konečná tělesa, elementy teorie čísel.Svazy, úplné svazy, ideály, filtry, distributivní a modulární svazy, Booleovy algebry.

Cílem je seznámení se s algebraickými systémy Maple a Mathematika a jejich použití pro řešení problému v matematice a matematické fyzice.

Přednáška je zaměřena na digitální zpracování jedno- i vícerozměrných signálů ve fyzice, měřící technice a informatice. Praktická cvičení jsou vedena na bázi programového produktu MATLAB:

Systémy a signály spojité a diskrétní v čase. Časová a amplitudová diskretizace, vzorkovací teorém. Deterministické a stochastické signály. Stabilita a kauzalita, lineární časově invariantní systémy. Delta-funkce, konvoluce, Laplaceova, Fourierova, Hilbertova, waveletová a Z-transormace. Analýza signálů v časové, frekvenční a časově-frekvenční oblasti. Přenosová funkce a impulsní odezva systému. Číslicová filtrace a komprese signálů, návrh FIR a IIR filtrů, analýza a eliminace šumu. Práce s programovými produkty Signal a Wavelet Toolbox for MATLAB. Digitální signálové procesory.

Kombinatorika na slovech v konečných abecedách, aperiodická slova s nízkou komplexitou, invariance a morfismus, incidenční matice morfismu a její vlastnosti. Aperiodická dláždění prostoru, soběpodobnost, aperiodické delonovské množiny a různé metody jejich konstrukce, metoda cut-and-project, kvazikrystaly. Reprezentace reálných čísel v soustavách s iracionální bází, beta-rozvoje a aritmetika v beta-rozvojích. V rámci semináře se studenti aktivně zapojují do práce na otevřených problémech s danou tématikou.

Neklasické logiky, jejichž vznik byl motivován především snahou vyřešit paradoxy logiky klasické, mají dnes četné praktické aplikace. Přednáška představí široké spektrum neklasických logik, především modální, dynamické a vícehodnotové logiky, dále pak logiky nemonotónní, intenzionální a některé další. Výklad bude spíše přehledový, důraz bude kladen na praktické aplikace, a to zejména v umělé inteligenci, teorii her, řízení, optimalizaci a lingvistice.

Příklady. Doplňky z analýzy (nevlastní parametrické integrály, zobecněný Lebesgueův integrál). Asymptotické relace a rozvoje - vlastnosti, algebraické a analytické operace s nimi. Aplikovaná asympotika posloupností a řad, asymptotika integrálů Laplaceova a Fourierova typu.

Banachovy algebry představují důležitou a stále se rozvíjející oblast funkcionální analýzy. Mnohé z výsledků nacházejí aplikace v numerické matematice (např. při studiu iteračních metod), v matematickém modelování, v teoretické fyzice, atd. Po nezbytném úvodu bude první část přednášky věnována Gelfandově teorii komutativních algeber, která je východiskem abstraktní harmonické analýzy. Poněvadž aparát Banachových algeber umožňuje elegantní výklad spektrální teorie, druhá část přednášky pojedná o Rieszově operátorovém kalkulu a jeho aplikacích. Z důležitých výsledků uveďme Newburghovu větu o spojité závislosti spektra a Lidského větu o stopě. Jako učební pomůcka bude možno použit preprinty některých kapitol z monografie, kterou autoři připravují.

Základní pojmy: pojem řešení, integrální křivka, problém jednoznačnosti řešení.

Řešení speciálních typů rovnic 1. řádu, rovnice se separovanými proměnnými a příbuzné rovnice, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, Bernoulliho rovnice. Rovnice tvaru x=f(y') a y=f(y'). Riccatiho rovnice, vztah Riccatiho rovnice a lineární diferenciální rovnice 2. řádu, speciální Riccatiho rovnice. Existenční věty pro rovnici tvaru y'=f(x,y), věta Peanova, věta Osgoodova. Závislost řešení na pravé straně diferenciální rovnice a počátečních podmínkách.

Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a systémy lineárních diferenciálních rovnic. Numerické řešení diferenciálních rovnic, metody Runge- Kuttovy, metody Adamsovy.

Kombinatorické identity, manipulace se sumami, diferencování a sumace. Dělitelnost, kongruence (mod n), malá Fermatova věta, Eulerova funkce j, RSA kódy. Perfektní čísla, Fermatova prvočísla, Mersennova prvočísla, Fibonacciho posloupnost, Bernoulliho čísla.

Rekurentní vztahy: lineární diferenční rovnice, některé typy nelineárních rekurencí, formule invertování, princip inkluze a exkluze. Konečné grupy, konečná tělesa a jejich konstrukce. Vektorové prostory nad konečnými tělesy.

Značnou část inženýrských problémů je možné formulovat a řešit v rámci jednotné myšlenkové struktury dynamického rozhodování za neurčitosti. Tato možnost je tématem kurzu, který rozšiřuje a modifikuje standardní teorii statistického rozhodování. Důraz na dynamickou povahu úloh, inženýrský konstruktivní přístup, popis učící i návrhové části, přehled prakticky úspěšných výpočetních postupů, souvislost s adaptivními systémy, jsou hlavní rysy kurzu. Ten poskytne myšlenkový základ pro řešení konkrétních problémů zahrnující modelování, předpovídání a řízení v technických, dopravních, medicínských atd. procesech..

Klíčové pojmy: řešený technický problém; dynamické rozhodování za neurčitosti; uspořádání strategií rozhodování; statické a dynamické problémy; návrh: dynamické programování a plně pravděpodobnostní návrh; učení: filtrace a odhadování; asymptotika; prvky rozhodovacích úloh; typy rozhodovacích úloh; výpočetní postupy; v učení: adaptivita, zapomínání, ekvivalenční přístup; v návrhu: strategie omezující modely a prohledávané prostory; lineárně - kvadraticky - gausovské a markovské adaptivní rozhodování; technologické, lékařské, dopravní a ekonomické aplikace.

Úrokování. Časová hodnota peněz. Struktura úrokových měr. Inflace. Peněžní toky - počáteční a konečná hodnota. Cenné papíry. Trhy cenných papírů. Oceňování cenných papírů.

Základy životního pojištění. Úmrtnostní tabulky. Princip ekvivalence. Nettopojistné a nettoreservy. Bruttopojistné a bruttoreservy. Měsíční kalkulační krok. Pojištění několika svázaných životů. Modelování a testování ziskovosti. Základy neživotního pojištění. Teorie rizika - rozdělení výše škodních nároků, rozdělení počtu pojistných událostí. Technické rezervy v neživotním pojištění. Tarifování. Výpočet solventnosti. Zajištění.

Systémy holomorfních funkcí v souvislé oblasti, Vitaliho věta. Konformní zobrazení, Riemannova věta. Celistvé a meromorfní funkce. Zobecněné řady v C. Komplexní funkce n komplexních proměnných, holomorfní funkce n komplexních proměnných, základní vlastnosti. Zobecněný křivkový integrál, parametrické zobecněné křivkové integrály, reprezentace holomorfních komplexních funkcí n komplexních proměnných parametrickými integrály.

Systémy holomorfních funkcí v souvislé oblasti, Vitaliho věta. Konformní zobrazení, Riemannova věta. Celistvé a meromorfní funkce. Zobecněné řady v C. Komplexní funkce n komplexních proměnných, holomorfní funkce n komplexních proměnných, základní vlastnosti. Zobecněný křivkový integrál, parametrické zobecněné křivkové integrály, reprezentace holomorfních komplexních funkcí n komplexních proměnných parametrickými integrály.

Vektorové prostory, funkcionály a formy, normované prostory, metrické prostory, Banachovy prostory, omezená lineární zobrazení, duální prostory, spektrum uzavřeného lineárního operátoru, topologické vektorové prostory, Hilbertovy prostory, ortogonalita, separabilní Hilbertovy prostory, direktní součet Hilbertových prostorů, omezené operátory na Hilbertových prostorech, Hermitovské operátory, projektory, spektrální vlastnosti normálních operátorů, ideály kompaktních operátorů.

Neomezené operátory, sdružený operátor, uzavřený operátor, normální operátory, samosdruženost, reducibilita, unitární ekvivalence, samosdružená rozšíření, spektrální teorie, funkcionální počet.

Generativní gramatiky, Chomského klasifikace, jazyky typu 0 a rozeznávací Turingovy stroje, kontextové jazyky a lineárně omezené automaty, bezkontextové jazyky a zásobníkové automaty, jazyky typu 3 a konečné automaty, regulární jazyky, vlastnosti uzavřenosti a algoritmické problémy, Mealyovy a Mooreovy sekvenční automaty, algebraická teorie, analýza, syntéza a minimalizace sekvenčních automatů.

Lexikální a syntaktická analýza zdrojových textů některých programovacích jazyků (Pascal, C++, Java). Datové struktury používané pro uložení a zpracování výrazů, příkazů, typů a deklarací. Programy pro generování překladačů (Lex, Yacc, ANTLR). Jednoduché optimalizace. Generování kódu, sestavování knihoven a proveditelných souborů. Principy integrovaných vývojových prostředí, vliv dynamické identifikace typů na vývojová prostředí. Pohled na strukturu syntaktické analýzy a generování kódu v souboru překladačů GCC.

Kombinatorické počítání, generující funkce. Základní pojmy teorie grafů: izomorfizmus, souvislost, matice sousednosti, stromy, kostry. Eulerovy cykly, Hamiltonovy kružnice, párování v grafech, vrcholová a hranová barevnost, planární grafy. Extremální úlohy na grafech, ramseyovská čísla. Pravděpodobnostní důkazy. Spektra matic grafů. Orientované grafy, turnaje, toky v sítích.

Stavy a pozorovatelné, základní postuláty, superselekční pravidla, kompatibilita, poloha a impulz, relace neurčitosti, časový vývoj, Feynmanův integrál, nekonzervativní systémy, symetrie kvantových systémů, složené systémy, identické částice, separace proměnných, druhé kvantování, Fockův prostor, kreační a annihilační operátory.

Lieovy algebry a Lieovy grupy, Hopfovy algebry, klasická a kvantová Yand-Baxterova rovnice, Poissonovy algebry, Drinfeld-Jimbova formulace kvantových grup, Woronowiczova formulace kvantových grup, nekomutativní geometrie, aplikace v matematice a matematické fyzice, integrabilní modely.

Vektorový prostor - lineární nezávislost, báze, dimenze, podprostor. Lineární zobrazení (lin. funkcionál, lin. operátor) - jádro, hodnost, defekt, matice lin. zobrazení. Soustavy lineárních rovnic - Gaussova eliminace.Lineární variety, konvexní množiny.

Inverzní operátor a matice. Determinant, vlastní číslo a vektor. Hermitovské a kvadratické formy - kanonický tvar. Prostory se skalárním součinem. Lineární operátory na prostorech se skalárním součinem - normální, samosdružený, izometrický. Geometrie v euklidovských prostorech.

Vektorový prostor - lineární závislost a nezávislost - báze a dimenze - podprostory vektorového prostoru - lineární zobrazení - matice - matice lineárních zobrazení.

Matice a soustavy lineárních algebraických rovnic - determinanty - skalární součin a ortogonalita - vlastní čísla a vlastní vektory matic - lineární geometrie v eukleidovském prostoru.

Vlastnosti intervalových matic: regularita, pozitivní definitnost, stabilita (nutné resp. postačující podmínky), složitost. Soustavy intervalových lineárních rovnic se čtvercovou maticí: Oettli-Pragerova věta, věta o konvexním obalu, metody výpočtu ohrazení. Obecné soustavy: silná a slabá řešitelnost, složitost. Lineární programování s nepřesnými daty.

Tvary úloh LP, dualita. Lineární rovnice a nerovnice, konvexní mnohostěn, bazické přípustné řešení, komplementarita. Metody: simplexová, duální simplexová, primárně-duální, revidovaná. Princip dekompozice, dopravní problém. Diskrétní LP (Gomoryho algoritmus). Aplikace LP v teorii her - maticové hry. Časově polynomiální algoritmy LP (Chačijan, Karmarkar).

Modely úloh lineárního programování, simplexová metoda, dualita úloh lineárního programování, věta o dualitě, duálně simplexová metoda, parametrické programování, distribuční modely, dopravní problém a jeho vlastnosti,metody řešení dopravního problému, celočíselné programování, zavazadlový problém, přiřazovací problém, úloha obchodního cestujícího, odvození Gomoryho metody.

Základy matematické logiky a teorie množin, pojem zobrazení a jeho vlastnosti. Množiny reálných a komplexních čísel. Posloupnosti reálných a komplexních čísel. Limita posloupnosti, konvergence a divergence. Reálná funkce jedné reálné proměnné. Limita funkce. Heineova věta. Spojitost, vlastnosti spojitých funkcí. Diferenciální počet reálných funkcí reálné proměnné. Derivace, věty o přírůstku funkce a jejich užití k vyšetřování průběhu funkcí a křivek.

Diferenciální počet reálných funkcí reálné proměnné (dokončení): L'Hospitalovo pravidlo, Taylorův vzorec.

Integrální počet reálných funkcí reálné proměnné. Primitivní funkce , integrační metody, určitý integrál (Riemannova definice) a jeho aplikace.

Číselné řady. Součet řady, konvergence a divergence, kriteria konvergence. Mocninné řady (v reálném a komplexním oboru). Cauchyova-Hadamardova věta. Derivace a integrace součtu mocninné řady (v reálném oboru), rozvoj reálné funkce v mocninnou řadu.

Funkční posloupnosti a řady: Bodová a stejnoměrná konvergence, věty o záměně, Fourierovy řady, rozvoj funkce do trigonometrické řady, kritéria bodové a stejnoměrné konvergence trigonometrických řad, úplnost trigonometrického systému.

Topologie: Topologie normovaného lineárního prostoru; spojitá a homeomorfní zobrazení; prostory kompaktní, souvislé, úplné; afinní prostor.

Diferenciální počet funkcí více proměnných: Derivace ve směru, parciální a totální derivace, věty o přírůstku funkce, derivace vyšších řádů, lokální extrémy.

Nelineární rovnice, regulární zobrazení, nelineární variety, vázané extrémy, diferenciální formy; konzervativní, exaktní a uzavřená forma; potenciál.

Integrální počet funkcí více proměnných: Lebesgueův integrál, měřitelné funkce a měřitelné množiny. Fubiniho věta, věta o substituci, křivkový a plošný integrál, Greenova, Gaussova a Stokesova věta.

Parametrický integrál: Věty o záměně, Gama a Beta funkce.

Analýza v komplexním oboru: derivace, holomorfní funkce, Taylorův rozvoj, Cauchyho věta meromorfní funkce, Laurentův rozvoj, reziduová věta.

Křivkový a plošný integrál: Greenova, Gaussova a Stokesova věta.

Množiny a zobrazení.

Limita posloupnosti reálné, komplexní - základní vlastnosti, limity některých posloupností, číslo e a exponenciální funkce, některé elementární funkce.

Limita a spojitost funkce jedné reálné proměnné - základní vlastnosti.

Derivace funkce - základní vlastnosti, mocninná řada a derivace, základní věty diferenciálního počtu, průběh funkce.

Primitivní funkce - základní vlastnosti, metoda per partes, substituce, primitivní funkce k racionálním funkcím a dalším základním typům funkcí. Newtonův a Riemannův integrál, jejich vztah, konvergence integrálu. Některé aplikace určitého integrálu - obsah rovinné oblasti, délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa. Nekonečná řada - součet, základní vlastnosti, konvergence řady s nezápornými členy, s libovolnými členy.

Posloupnosti a řady funkcí - obor konvergence, kritéria stejnoměrné konvergence, spojitost, limita, derivace a integrace řady funkcí, mocninné řady, rozvoj funkce v řadu, Taylorova věta.

Obyčejné diferenciální rovnice - rovnice prvního řádu (metoda integračního faktoru, Bernouliova rovnice, rovnice se separovanými proměnnými, homogenní a exaktní rovnice) a rovnice vyšších řádů (fundamentální systém řešení diferenciální rovnice, snížení řádu diferenciální rovnice, metoda variace konstant, lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou, Eulerova diferenciální rovnice).

Kvadratické formy a kvadratické plochy - regularita, definitnost, normální tvar, hlavní a vedlejší signatura, polární báze, klasifikace kuželoseček a kvadrik .

Metrické prostory - metrika, norma, skalární součin, pojem okolí, vnitřní, vnější, hraniční, izolovaný a hromadný bod množiny, derivace a hranice množiny.

Diferenciální počet funkce více proměnných - limita, spojitost, parciální derivace, směrové parciální derivace, totální derivace, totální diferenciál a tečná rovina ke grafu funkce, diferenciály vyšších řádů, Taylorova věta, základní pojmy vektorové analýzy, Jacobiho matice, funkce zadané implicitně soustavou rovnic, regulární zobrazení, záměna proměnných, nekartézské soustavy souřadnic, lokální, vázané a globální extrémy funkce.

Integrální počet funkce více proměnných - Riemannův integrál v Ñ^r, základní vlastnosti, Fubiniova věta v Ñ², věta o substituci, křivka a křivkový integrál 1. a 2. druhu, plocha a plošný integrál 1. a 2. druhu, věty Greenova, Gaussova a Stokesova.

Základy teorie míry - množivý (s-)okruh a (s-)algebra, okruh generovaný polookruhem, pojem míry, Systémy množin H _r , J _r , K _r a S _r , Jordanova míra v Ñ^r, Lebesgueova míra v Ñ^r.

Abstraktní Lebesgueův integrál - pojem měřitelné funkce, prostor s mírou, konstrukce základního systému funkcí, definice integrálu a jeho vlastnosti, Leviho a Lebesgueova věta, limita, spojitost a derivace integrálu podle parametru, Lebesgueův integrál v Ñ^r, vztah k Riemannovu a Newtonovu integrálu v Ñ, věta o substitici a Fubiniova věta pro Lebesgueův integrál.

Úvod do teorie pravděpodobnosti - Pravděpodobnostní pole, základní vlastnosti. Náhodné veličiny. Distribuční funkce, hustota. Momenty, momentová vytvářející funkce. Základní rozdělení pravděpodobnosti. Limitní věty.

Základní statistické metody - Statistiky. Bodové odhady. Intervalové odhady. Testy významnosti. Testy dobré shody. Neyman-Pearsonův test. Korelace. Regrese.

Úvod do teorie pravděpodobnosti - Pravděpodobnostní pole, základní vlastnosti. Náhodné veličiny. Distribuční funkce, hustota. Momenty, momentová vytvářející funkce. Základní rozdělení pravděpodobnosti. Limitní věty.

Základní statistické metody - Statistiky. Bodové odhady. Intervalové odhady. Testy významnosti. Testy dobré shody. Neyman-Pearsonův test. Korelace. Regrese.

Obsahem přednášky je seznámení se statistickými metodami, které jsou používané ve statistické kontrole jakosti, a to především v její oblasti zvané SPC (Statistical Process Control). Cílem je ukázat praktické využití statistických postupů v praxi. Výuka je doplněna též ukázkami softwarového vybavení z této oblasti aplikované matematické statistiky jako jsou programy QI Analyst pro SPC a TrialRun pro navrhování experimentů. Oba produkty jsou od firmy SPSS, přičemž QI Analyst má i českou lokalizaci. Obsah přednášky je následující: Zopakování základních pojmů z testování hypotéz - testy dobré shody - shody průměrů a rozptylů - analýza variance - základní pojmy navrhování experimentů - formulování problému detekce změny - sekvenční testy - metoda kumulovaných součtů - exponenciálně vážené klouzavé průměry - Shewhartovy regulační diagramy - způsobilost a schopnost výrobního procesu - řešení praktických příkladů pomocí softwaru.

Aplikace základních fyzikálních zákonů v mechanice tekutin a jejich matematické vyjádření. Formulace různých matematických modelů proudící tekutiny. Základní kvalitativní vlastnosti okrajové úlohy pro stacionární Navierovy-Stokesovy rovnice a smíšené úlohy pro nestacionární Navierovy-Stokesovy rovnice. Turbulence a její modelování pomocí Reynoldsových rovnic.

Stlačitelné proudění. Potenciální modely proudění, podzvukové, nadzvukové a transsonické proudění.Úplná potenciální rovnice. Numerické metody sítí , Eulerovy a Navier-Stokesovy rovnice, 1D a 2D úlohy. Centrální schemata metody konečných objemů, numerická aproximace. Nestlačitelné proudění, potenciál rychlosti a proudová funkce, vířivost. Metoda umělé stlačitelnosti.

Dynamické systémy a chaos - základní pojmy a tvrzení, konečněrozměrné dynamické systémy a geometrická teorie obyčejných diferenciálních rovnic, nekonečněrozměrné dynamické systémy a geometrická teorie parciálních diferenciálních rovnic, bifurkace a chaos, prostředky k jejich vyšetřování.

Matematické základy fraktální geometrie - motivační příklady a vztah k dynamickým systémům, topologická dimenze, obecná teorie míry, Hausdorffova dimenze, pokusy o definici geometricky složité množiny, iterační systémy funkcí. Závěr - použití pro matematické modelování.

Popis pohybu tekutin v pórovitém prostředí - Darcyho zákon. Transportní rovnice v prostoru a rovině, potenciální proudění, ustálené a neustálené proudění, stanovení okrajových podmínek. Variační formulace okrajových a počátečních úloh proudění podzemní vody, praktické aspekty metody konečných prvků používané v daném kontextu. Nelineární úlohy ustáleného a neustáleného proudění podzemní vody. Problematika stlačitelného prostředí. Transport rozpuštěných látek podzemní vodou. Ukázky softwarových simulačních prostředků.

Funkce a jejich vlastnosti, limity funkcí, spojitost. Pojem derivace, derivace vyích řádů. Věta o přírůstku funkce a její aplikace, lokální extrémy funkce, extrémy na mnoině, asymptoty, průběh funkce. Primitivní funkce, substituce, metoda per partes. Určitý integrál, Newtonova a Riemannova definice, výpočet plochy. Primitivní funkce k trigonometrickým funkcím, střední hodnota integrálu. Transcendentní funkce: definice logaritmu, jeho vlastnosti, exponenciála, hyperbolické a cyklometrické funkce, jejich derivace. Aplikace určitého integrálu: délka grafu funkce, objem a povrch rotačních těles.

Techniky integrace. Zobecněný Riemannův integrál, kriteria konvergence. Kuelosečky: elipsa, hyperbola, parabola. Polární souřadnice. Parametricky zadané křivky: délka křivky, tečny ke křivce, plochy, objemy a povrchy rotačních těles. Posloupnosti: limita posloupnosti, důleité limity, kriteria konvergence. Řady, kriteria konvergence, absolutní a neabsolutním konvergence, řady se střídavými znaménky. Mocninné řady. Derivování a integrování mocninných řad. Taylorův polynom, Taylorova řada, rozvoje důležitých funkcí do mocninných řad.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Aritmetické vektory, matice, základní maticové operace. Determinanty. Vektorové prostory, lineární závislost, báze. Lineární zobrazení. Vektorová algebra a analytická geometrie v trojrozměrném prostoru.

Obyčejné diferenciální rovnice – rovnice prvního řádu (metoda integračního faktoru, Bernouliova rovnice, rovnice se separovanými proměnnými, homogenní a exaktní rovnice) a rovnice vyšších řádů (snížení řádu diferenciální rovnice, metoda variace konstant, lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou).

Diferenciální počet funkce více proměnných – limity, spojitost, parciální derivace, směrové derivace, první diferenciál a tečná rovina ke grafu funkce, diferenciály vyšších řádů, Taylorův vzorec, vektorové pole funkcí a Jacobiho matice, regulární zobrazení, funkce implicitně zadaná, lokální a vázané extrémy funkce.

Integrální počet funkce více proměnných – Riemannův integrál v Ñ², věta o substituci, zobecněné polární souřadnice.

Schémata MKD pro lineární rovnici zákona zachování (explicitní, implicitní, upwind). Spektrální kritérium, CFL-podmínka, vyšetřování stability schémat. Schémata MKD pro rovnici nelineární rovnici zákona zachování (Lax-Wendroff, Lax-Friedrichs, Runge-Kutta, prediktor-korektor, MacCormack). MKO pro rovnici vícerozměrné rovnice zákonů zachování (rozšíření schémat z předchozího bodu na síť konečných objemů (trojúhelníky, čtyřúhelníky). Eulerovy rovnice pro stlačitelnou tekutinu (formulace úlohy, MKO schéma). Kompozitní schémata, MKO pro Navier-Stokesovy rovnice stlačitelné i nestlačitelné (metoda umělé stlačitelnosti), diskuse a prezentace úloh řešených studenty v rámci výzkumného úkolu.

Primární MKP pro lineární eliptické úlohy 2. řádu (teorie i algoritmizace), úvod k řešení nelineárních a nestacionárních úloh (parabolické a hyperbolické rovnice, konvekčně-difuzní transportní rovnice). Úvod do smíšené a smíšené hybridní MKP. Součástí kurzu je i praktická úloha.

Prostor zobecněných funkcí - početní operace - integrální transformace. Cauchyova úloha - klasická a zobecněná řešení. Integrální rovnice - Hilbertova- Schmidtova teorie. Úloha Sturmova - Liouvilleova. Fourierova metoda řešení okrajových úloh. Harmonické funkce - základní vlastnosti. Korektní formulace Dirichletovy a Neumannovy úlohy - Greenova funkce - převedení okrajové úlohy na řešení integrální rovnice.

Kurs je zaměřen na použití řídkých matic v přímých metodách pro řešení rozsáhlých lineárních systémů. Detailně je především zpracována teorie rozkladu symetrických a pozitivně definitních matic. Teoretické výsledky jsou dále pak aplikovány na řešení obecnějších systémů. Hlavní rysy praktických implementací jsou probrány.

Vlastní čísla, pozitivní (semi)definitnost a související výsledky. Vlastnosti konvexních množin. Konvexní funkce: vlastnosti, spojitost, charakterizace. Optimalizace bez vazeb: podmínky 1. a 2. řádu, metoda největšího spádu, metody FR,PR,DFP a BFGS. Optimalizace s vazbami: podmínky FJ, KTP jako nutné resp. postačující, metoda přípustných směrů, penalizační a bariérové metody. Problém lineární komplementarity a kvadratické programování.

Úvod do teorie neuronových sítí, základní modely, analýza binárních neuronových sítí, aproximační možnosti neuronových sítí, Vapnikova-Červoněnkova dimense neuronových sítí, teorie učení a neuronové sítě, numerické aspekty algoritmů učení, aplikace teorie pravděpodobnosti v neuronových sítích, vztah fuzzy množin k neuronovým sítím.

Základní definice a věty z lineární algebry a funkcionální analýzy. Řešení systemů lineárních algebraických rovnic, finitní a iterační metody, Gaussova eliminace a její modifikace, inverse matice.Jacobiova,Gauss-Seidlova a superrelaxační metoda. Problémy vlastních čísel, mocninná metoda, LR-algoritmus a příbuzné metody. Lagrangeova interpolace, Lagrangeova a Newtonova interpolační formule. Řešení rovnice tvaru f(x)=0, řešení systémů nelineárních rovnic, Newtonova metoda. Numerický výpočet derivace. Numerický výpočet integrálu.

Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic (okrajové úlohy) – metoda střelby, metoda přesunu okrajové podmínky, metoda sítí, řešení nelineárních rovnic.

Numerická řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu – metoda sítí pro lineární rovnice druhého řádu, metoda sítí pro lineární rovnice čtvrtého řádu, konvergence a odhad chyb, metoda přímek.

Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu – metoda sítí pro rovnici o jedné prostorové proměnné, metoda sítí pro rovnici o více prostorových proměnných, metoda přímek, Rotheho metody.

Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic (okrajové úlohy) – metoda střelby, metoda přesunu okrajové podmínky, metoda sítí, řešení nelineárních rovnic.

Numerická řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu: metoda sítí pro lineární rovnice druhého řádu, metoda sítí pro lineární rovnice čtvrtého řádu, konvergence a odhad chyb, metoda přímek.

Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu: metoda sítí pro rovnici o jedné prostorové proměnné, metoda sítí pro rovnici o více prostorových proměnných, metoda přímek, Rotheho metody.

Jde o pokračování přednášky „Metoda konečných objemů“, které se zabývá konkrétním numerickým řešením následujících aplikací proudění:

transonického proudění kolem profilu (vazké, nevazké),

transonického proudění v mříži (vazké, nevazké),

proudění v mezní vrstvě atmosféry (vazké, 2D, 3D),

nestlačitelného (laminárního a turbulentního) proudění v případě proudění krve, impaktního proudění proti stěně, proudění v kanálu se zpětným schodem.

Při řešení se užívá schémat a metod zmíněných v přednášce o metodě konečných objemů.

Kurs je úvodem ke studiu důležitých implementací numerických algoritmů. Jeho hlavní zaměření je na problémy numerické lineární algebry. V této oblasti je cílem ukázat, jak jsou požadavky paralelismu, řídkosti matic a stability algoritmů realizovány v konkrétních úlohách. V rovině praktického seznámení jsou uvedeny základní prvky systémů LINPACK, LAPACK, SPARSPAK a ITPACK.

Úvod do operačních systémů (struktura jádra, bezpečnost). Procesy a vlákna (vytváření a ukončování procesů a vláken, plánování a priority). Synchronizace vláken (kritické sekce, semafory). Správa paměti (virtuální paměť, soubory mapované do paměti). Úvod do distribuovaných systémů (volání vzdálených procedur - RPC, architektury CORBA a COM). Základy komunikace v sítích TCP/IP (směrování paketů, služby DNS).

Typy počítačových architektur, vázané systémy, klasifikace paralelních systémů. Superpočítače a minisuperpočítače. Amdhalův zákon, efektivita paralelních procesů, reálná výkonnost, Dongarovo hodnocení. Transputery a jejich architektura, organizace pamětí a programování transputerů. Programovací jazyk OCCAM. Paralelní rozšíření jazyka FORTRAN. Architektury RISC. Superskalární architektury. Neuronové sítě, dynamika neuronových sítí. Hopfieldův model, Kohenovy sítě, vícevrstvé sítě, back propagation.

Základní kurz počítačového zpracování a porozumění přirozenému jazyku. Budou probrány metody automatické morfologické a syntaktické analýzy včetně moderních statistických metod zjednoznačnění výsledku. Dvouúrovňová morfologie, značkování a jazykové modely, Viterbiho algoritmus, gramatiky, chart parsing, pravděpodobnostní gramatiky, rekurzivní přechodové sítě (RTN). Ve druhém semestru sémantická analýza (porozumění významu).

Základní seznámení s HW vybavením počítačů pro zpracování grafiky, 2D algoritmy, zavedení homogenních souřadnic, transformace 2D objektů, ořezávání, zpracovávání obrázků a práce s grafickými formáty, dithering, fraktály, warping a morphing, fonty.

3D reprezentace, transformace objektů ve 3D, projekce a perspektiva, modely pro uložení informací o 3D objektech, bikubické křivky a povrchy, určení viditelnosti hran a povrchů, barvy a barevné systémy, osvětlení a stínování, metoda ray tracing, základy počítačové animace, OpenGL.

Síťové protokoly, architektura modelu ISO/OSI, sítě LAN, WAN. Sériová linka, modemy, protokoly IPX/SPX, TCP/IP, programování komunikace. Služby internetu DNS, FTP, TELNET, WWW. Protokol HTTP, tvorba WWW stránek a jejich dynamické generování, základy jazyka JAVA.

QR rozklady matic, ortogonální transformace. Metoda nejmenších čtverců, metody Krylovových podprostorů: Arnoldiho algoritmus pro nesymetrické matice, metoda GMRES, Lanczosův algoritmus pro symetrické matice. Stručný přehled metod Kryl. podprostoru pro řešení soustav lin. rovnic. Některé metody pro výpočet vlastních čísel matic pro symetrické a nesymetrické matice. Singulární rozklad matice a pseudoinverze.

Axiomy pravděpodobnostního prostoru, sigma-algebry, pravděpodobnostní míra. Závislé a nezávislé jevy. Borelovské množiny, měřitelné funkce, náhodné veličiny a rozdělení pravděpodobnosti. Radon-Nikodymova věta. Diskrétní a absolutně spojitá rozdělení, příklady. Produktivní míra, integrál podle míry, Lebesgue-Stieltjesův integrál. Střední hodnota náhodné veličiny, obecné a centrální momenty. Prostory Lp, Schwarzova nerovnost, Čebyševova nerovnost, kovariance. Charakteristická funkce a její vlastnosti, použití. Konvergence skoro jistě, podle středu, podle pravděpodobnosti. Zákony velkých čísel. Slabá konvergence a centrální limitní věty, Lindebergova podmínka, Berry-Esseen. Vícerozměrné normální rozdělení a jeho vlastnosti. Cochranova věta a nezávislost výběrového průměru a rozptylu. Problém statistického bodového odhadu parametrů rozdělení. Kritéria optimality odhadů. Nestranné odhady s minimálním rozptylem, Fisherova informační matice, Rao-Cramérova nerovnost, Bhattacharryova nerovnost. Odhady metodou momentů. Princip maximální věrohodnosti, konsistence, asymptotická normalita a eficience MLE odhadů. Odhady s minimální vzdáleností.

Testování jednoduchých a složených hypotéz. Neyman - Pearsonovo lemma. Stejnoměrně nejsilnější testy. Znáhodněné testování hypotéz, zobecněné Neyman - Pearsonovo lemma. Test poměrem věrohodností, t-test, F-test. Neparametrické modely, empirická distribuční funkce a její vlastnosti, histogram a jádrový odhad hustoty. Pearsonův test dobré shody, Kolmogorov-Smirnovův test. Konfidenční množiny a intervaly spolehlivosti, pivotální veličiny, invertování přípustných oblastí, Prattův teorém. Samostatné studium z ofocených separátů: Úvod do regresní analýzy (model lineární regrese, testy regresních koeficientů, kvadratická regrese a regrese se dvěma nezávisle proměnnými).

Definice pravděpodobnosti náhodných jevů, výpočet pravděpodobností, podmíněná pravděpodobnost.

Náhodné veličiny a jejich rozdělení, funkce náhodných veličin, zákon velkých čísel, centrální limitní věta.

Metody odhadu parametrů a jejich funkcí, metoda maximální věrohodnosti. Testování statistických hypotéz. Regresní analýza. Metoda nejmenších čtverců. Základní úlohy analýzy rozptylu.

PAC-model učení a jeho rozšíření (PAC = Probably Approximatively Correct)

- dolní a horní odhady vzorové složitosti PAC-modelu

- uniformní konvergence a naučitelnost tříd konceptů

- složitost PAC modelu vzhledem k dimenzi vzorů a deskriptivní složitosti

konceptů

- odhady založené‚ na pseudodimenzi a "fat-shattering" dimenzi

- agnostický model PAC učení

vybrané algoritmy pro učení booleovskych funkci a učenízákladních tříd konceptů (poloprostory, intervaly, "koule" v různých normách, atd.)

Úvod do umělé inteligence: řešení problému, stavové prostory, hledání řešení, algoritmus A s hvězdičkou, optimalita řešení. Neurčitost v umělé inteligenci: neurčitost v expertních systémech, pseudobayesovský způsob práce s nejistotou v Prospectoru. Podmíněná nezávislost a její vlastnosti: faktorizační lemma, lemma o nezávislosti bloku. Grafové markovské vlastnosti: párová, lokální a globální markovská vlastnost. Triangulované grafy: rozklad grafu, "maximum cardinality search", perfektní uspořádání uzlů a klik, triangularizace grafu, "rudding intersection property", stromy spojení. Bayesovské sítě: konsistence distribuce reprezentované bayesovksou sítí, závislostní struktura. Výpočty v bayesovských sítích: Shachterův algoritmus, transformace bayesovské sítě na rozložitelný model, posílení zpráv ve stromech spojení.

Prediktivní metody řízení patří k té oblasti moderní teorie řízení, která má bezprostřední praktickou použitelnost pro svou srozumitelnost a relativní jednoduchost. Protože pracuje se signály (daty), v diskrétních časových okamžicích, je snadno realizovatelná výpočetní technikou.

Principy prediktivního řízení. Stochastický systém jako jednokrokový prediktor. Vícekrokové prediktory. Případ dopravního zpoždění. Syntéza optimálního řízení podle minimalizace kvadratického kritéria. Metoda GPC, zobecněné prediktivní řízení. LQG jako prediktivní metoda. Problém stability. Prostředky modifikace vlastností uzavřené smyčky. Uvažování omezení vstupního signálu. Identifikace prediktivního modelu. Sledování časově proměnných parametrů. Adaptivní řízení. Praktické zkušenosti pro nastavování prediktivních regulátorů. Rozbor praktické aplikace.

Adresování paměti a periferních zařízení. Přerušení a řadiče přerušení. Klávesnice (služby subsystému BIOS, I/O porty, základy jednoduchého programu pro ovládání klávesnice), sériová komunikace, video adaptéry. Příklady grafických programů v OpenGL a příklady využívající knihovnu Open Inventor. Diskové služby (rozhraní IDE a SCSI). Stručný úvod do programování ovladačů periferních zařízení v operačních systémech Windows a Linux. Význam operačních systémů pracujících v reálném čase.

Tvorba grafického uživatelského rozhraní v prostředí Delphi. Programování komponent vývojového prostředí Delphi. Význam dynamické identifikace typů pro vývojová prostředí. Úvod do programování aplikací v X Windows (knihovny GTK, Qt a Motif).

Několik vět o historii jazyka. Základy programování v Adě. Tucet datových typů. Moduly, moduly, moduly. Ukazatelé v Adě. Manipulace s textovými řetězci. Vstupně - výstupní operace. Zpracování výjimek. Co jste si ještě přáli vědět o modulech. Šablony a datové typy závislé na parametrech. Objektově orientované programování. Více úloh a jejich spolupráce. Kolik jazyků znáš, tolik jich zná i Ada. O krok blíže k hardwaru.

Lineární model, náhodné vysvětlující veličiny, odhad minimalizující součet absolutních hodnot residuí. Nejlepší nestranný lineární odhad regresních koeficientů – podmínka ortogonality a sferikality (homoscedasticita), konsistence. Asymptotická normalita odhadu regresních koeficientů. Nejlepší nestranný odhad regresních koeficientů. Koeficient determinace, role interceptu, signifikance vysvětlujících veličin. Konfidenční intervaly, testování submodelu, Chowův test. Statistické knihovny (menu a key-orientované), možnosti, vstupy a výstupy, spolehlivost, interpretace výsledků. Whitův test na heteroskedasticitu, index plot. Testování normality, Theilova přepočítaná residua, test dobré shody, Kolmogorov-Smirnovův test, normal plot. Kolinearita, index podmíněnosti, Farrar-Glauberův test, redundance, hřebenová regrese, odhad s lineárními omezeními. AR, MA, AR(I)MA, podmínka invertibility a stacionarity. Vyhlazování (lineárního) trendu pomocí křivek, klouzavých průměrů a exponenciál. Sezónní a cyklická složka, testy náhodnosti. Eficientní odhad regresních koeficientů pro AR(1), MA(1), nebo AR(2), MA(2) disturbance (Prais-Winsten, Cochrane-Orcutt). Robustní regrese - M-odhady, kvalitativní a kvantitativní robustnost, influenční funkce, vlivné body (outliers, leverage points). Nejmenší medián čtverců residuí, minimalizace součtu usekaných residuí, algoritmy, aplikace. Systém regresních rovnic, problém identifikace. ARCH, GARCH, modely s náhodnými koeficienty, prahové modely, "change-point problem". Modely se zpožděnými hodnotami veličin, odhady relevantního zpoždění. Filosofické úvahy o matematickém modelování.

Koncepty a architektura SŘBD; Datové modely, E-R model; databázové modely, síťový hierarchický, relační a objektový; dotaz, formální dotazovací jazyk, relační algebra, návrh relační databáze, funkční závislosti, normalizace, algoritmy návrhu, konverze E-R schématu do databázového; jazyk SQL, DDL, DML, integritní omezení; zabezpečení dat v DB, současný přístup, transakce, uživatelské role, distribuované databáze, arch. klient-server; fyzický model.

Operace v prostoru zobecněných funkcí D' (derivace, fundamentální řešení Laplaceova operátoru ve dvou a více dimenzích, tenzorový součin, konvoluce). Řešení rovnice s pravou stranou v D'. Aplikace na Cachyovou úlohu pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici. Objemové a plošné integrály.

Integrální rovnice, metoda iterací, Fredholmovy věty pro rovnice se spojitým jádrem, integrální rovnice s hermitovským jádrem, Hilbert-Schmidtova věta, pozitivně definitní jádra, vlastnosti charakteristických hodnot pro spojitá jádra. Okrajová úloha pro rovnice eliptického typu, úloha na vlastní hodnoty, Sturm-Liouvilleova úloha, smíšené úlohy, věty o jednoznačnosti a evidenci řešení. Besselovy funkce, harmonické funkce, sferické funkce.

Zobecněný integrál a funkční řady - formální analogie a jejich užití při vyšetřovaní konvergence a nalezení limity. Fourierovy řady - konvergence podle středu - příprava na L₂. Topologie - nové pohledy na R, R*, C<a,b>. Věta o přírustku zobrazení a z ní vyplývající zobecnění v diferenciálním počtu. Konvexní množiny, konvexní funkce na afinním prostoru a jejich vyšetřování pomocí diferenciálního počtu.

Alternativně:

Exaktní diferenciální rovnice, diferenciální rovnice nerozřešené vzhledem k derivaci nebo vnější algebra a vnější diferenciální počet, r-rozměrná integrace v n-rozměrném prostoru.

Integrální věta o spojité závislosti na parametrech, diferencovatelnost řešení podle parametrů, spojitá závislost řešení na počátečních podmínkách a diferencovatelnost podle počátečních podmínek, základní pojmy teorie autonomních systémů, analýza řešení autonomních systémů (typy řešení a fázový prostor), soustava rovnic 2x2, exponenciela operátoru, stabilita podle Ljapunova, limitní cykly, řešení diferenčních rovnic, Adamsovy metody, Runge-Kuttovy metody, řešení rovnic řadami.

Programování v jazyce symbolických instrukcí mikroprocesorů Intel 80x86: registry, adresování, jednotlivé instrukce, kódování instrukcí, volání podprogramů, numerický koprocesor, virtuální paměť procesoru 386, instrukce MMX. Porovnání architektur RISC a CISC, 64-bitové procesory.

Úvod do programování v jazyce Java. Programování komponent grafického rozhraní (Java Beans). Úvod do programování grafického uživatelského rozhraní v operačním systému Linux (knihovna GTK+) .

Celistvé, transcendentní, meromorfní, pseudopotenční a pseudoregulární funkce v C, reprezentace transcendentních funkcí nekonečným součinem. Gama a Beta funkce. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu, existence a jednoznačnost řešení. Obyčejné, regulární a singulární body diferenciálních rovnic, existence a tvar řešení v okolí těchto bodů. Besselovy funkce s indexem alfa, prvního a druhého druhu. Legendreovy funkce, Leguerrovy polynomy, hypergeometrické a zobecněné hypergeometrické funkce.

Přednáška volně navazuje na předmět ROZ12. Hlavní pozornost je věnována použití některých speciálních funkcí a transformací (zejména momentových funkcí a waveletové transformace) pro vybrané úlohy zpracování obrazu - detekce hran, potlačení šumu, rozpoznávání deformovaných objektů, registrace obrazu, komprese, apod. Vedle teorie bude probírána i řada praktických aplikací.

Osnova

- geometrické momenty, definice a základní vlastnosti

- ortogonální a rotační momenty (komplexní momenty, Fourier-Mellin momenty, Zernikovy momenty)

- momentové invarianty vzhledem k otáčení a měřítku obrazu

- momentové invarianty vzhledem k  afinní transformaci obrazu

- momentové invarianty vzhledem ke konvoluci, kombinované invarianty

- waveletová transformace (WT) - matematické základy

- použití WT pro detekci hran a význačných bodů v obrazu

- potlačení šumu pomocí WT

- použití WT pro registraci obrazu

- komprese obrazu pomocí WT a blokového kvantování

- další aplikace WT

Celistvé, transcendentní, meromorfní, pseudopotenční a pseudoregulární funkce v C, reprezentace transcendentních funkcí nekonečným součinem. Gama a Beta funkce. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu, existence a jednoznačnost řešení. Obyčejné, regulární a singulární body diferenciálních rovnic, existence a tvar řešení v okolí těchto bodů. Besselovy funkce s indexem alfa, prvního a druhého druhu. Legendreovy funkce, Leguerrovy polynómy, hypergeometrické a zobecněné hypergeometrické funkce.

Obecné principy klasické statistiky. Ztrátové a rizikové funkce, rozhodovací funkce, optimální rozhodnutí a strategie, bayesovská a minimaxní řešení rozhodovacích úloh, princip přípustnosti. Konvexní ztrátové funkce, bayesovský odhad. Statistický bodový a intervalový odhad, nestrannost, postačitelnost, konstrukce stejnoměrně nejlepších nestranných odhadů, Rao-Blackwellova věta. Skórové funkce a jejich vlastnosti. Shannonova entropie, f-divergence, princip maximální entropie. Nové zobecněné třídy divergencí a jejich metrické vlastnosti. Odhady s minimální vzdáleností/divergencí. Výpočetní aspekty bayesovských metod, Monte Carlo, Laplaceova asymptotická aproximace. Analýza dat o přežití, cenzorovaní dat.

Stochastické dynamické systémy, Markovovy procesy, rovnováha, homogenita, stacionarita. Markovovy řetězce, pravděpodobnosti přechodu, trvalé a přechodné stavy, stacionární rozdělení, pravděpodobnosti pohlcení, náhodná procházka a diskrétní model hromadné obsluhy. Statistické úlohy pro Markovovy řetězce, simulační metoda Markov Chain Monte Carlo, pravděpodobnostní optimalizační algoritmy, aplikace ve statistické fyzice a při zpracování obrazu.

Markovovy procesy se spojitým časem, intenzity přechodů, Kolmogorovy rovnice, Poissonův proces, procesy vzniku a zániku, teorie hromadné obsluhy. Modely hromadné obsluhy v sítích. Otevřené a uzavřené Jacksonovy sítě, počítačové a komunikační sítě.

Základy teorie čísel, řetězové zlomky, diofantické rovnice, diofantické aproximace, algebraická a transcendentní čísla. Algebraická tělesa, specielně cyklotomická a kvadratická, faktorizace v okruzích celých čísel, jednotky, normy, třídy ideálů.

Rozhodování, řízení, struktury řízení. Objekt, model, systém. Vnitřní a vnější popis systémů. Stochastické procesy, stochastické systémy. Vazby mezi systémy. Řešení stavových rovnic systému, módy systému. Souvislost spojitého a diskrétního popisu systému. Stabilita. Dosažitelnost a pozorovatelnost. Změna dynamických vlastností systému, stavová zpětná vazba. Rekonstrukce stavů dynamických systémů, separační princip. Dekompozice a realizace systémů. Citlivostní analýza systému.

Zdroj zpráv a entropie. Společná a podmíněná entropie. Informační divergence, informace a jejich vztah k entropiím. Jensenova nerovnost a metody konvexní analýzy. Postačující statistiky a teorém o zpracování informace. Fanova nerovnost a Cramér-Raova nerovnost. Asymptotická ekvipartiční vlastnost bezpaměťových zdrojů. Rychlost entropie zdrojů s pamětí. Stacionární a markovské zdroje. Komprese dat. Kraftova nerovnost pro bezprefixové a jednoznačně dekódovatelné kódy. Huffmanovy kódy. Kapacita šumového kanálu. Shannonova věta o přenesitelnosti zdroje kanálem.

Bezpečnostní kódy, objevování a opravování chyb, minimální vzdálenost kódu, informační a kontrolní znaky, kódování informačních znaků, lineární kódy, generující a kontrolní matice, Hammingovy kódy, Golayův kód, cyklické kódy, BCH kódy, Reedovy-Mullerovy kódy.

Entropie jako míra informace, prefixové kódy, Kraftova nerovnost, McMilanova věta, nejkratší kód . Kódy objevující a opravující chyby, minimální vzdálenost kódu, informační a kontrolní znaky, kódování informačních znaků, lineární kódy, generující a kontrolní matice, standardní dekódování, Hammingovy kódy, cyklické kódy.

Jordanova věta a převod matice na Jordanův tvar, matice a grafy, nezáporné matice a Frobeniova věta, normy matic, spektrální a polární rozklad matice, vybrané numerické metody.

Stacionární stochastické procesy, časové řady, autokorelační funkce, spektrum, spektrální hustota, odhady. Lineární stacionární modely, klouzavé součty, autoregresní a smíšené procesy, bílý šum. Gaussovské a ergodické procesy. Odhady modelu, periodogram, maximálně věrohodné odhady, Bayesovský přístup, odhady trendu a periodicity. Predikce, filtry, přenosové funkce. Markovovské procesy a řetězce, klasifikace stavů, stacionární rozdělení, semimarkovské procesy, řízené Markovovy řetězce.

Základní třídy složitosti, NP-úplnost, optimalizační úlohy, čas, prostor, nedeterminismus, pravděpodobnostní výpočty, složitost booleovských obvodů, metody dolních odhadů složitosti, algebraická složitost, některé aplikace (kryptografie, neuronové sítě).

Topologie a okolí, uzavřené množiny, hromadné body, uzávěr, báze a předbáze, indukovaná topologie, souvislé množiny, Meore-Smith konvergence, spojité zobrazení, součin topologických prostorů, faktor- prostor, metrizace, Urysohnovo lemma o existenci spojité funkce, metrické a pseudometrické prostory, věty o metrizaci, kompaktní prostory, součin kompaktních prostorů, faktorizace kompaktních prostorů, Alexandrova a Stone-Čechova kompaktifikace.

Algoritmy a algoritmicky vyčíslitelné funkce. Algoritmicky rozhodnutelné a enumerovatelné množiny. Turingův stroj, rekurzivní funkce. Algoritmicky neřešitelné problémy. Konečný automat. Úvod do bezpečnostních kódů.

Věta o minimu kvadratického funkcionálu - existence minima v energetickém prostoru - zobecněná řešení. Konstrukce minimalizujících posloupností a jejich konvergence - metoda ortonormálních řad, Ritzova, Galerkinova, Courantova metoda nejmenších čtverců a největšího spádu. Volba báze. Sobolevovy prostory - slabé řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami - Laxova - Milgramova věta. Metoda konečných prvků.

Věta o minimu kvadratického funkcionálu - existence minima v energetickém prostoru - zobecněná řešení. Konstrukce minimalizujících posloupností a jejich konvergence - metoda ortonormálních řad, Ritzova, Galerkinova, Courantova metoda nejmenších čtverců a největšího spádu. Volba báze. Sobolevovy prostory - slabé řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami - Laxova - Milgramova věta. Metoda konečných prvků.

Přednáška pojednává o teorii optimalizace a optimálního řízení ve fyzice, technice a ekonomii. Jsou zde rozebírány otázky existence a stability řešení, podmínky optimality, dále pak numerické aproximace optimálních řešení v případě diferenciálních nebo integrálních rovnic a variačních nerovnic, oscilační a koncentrační efekty. Obsah: Úlohy optimalizace na Banachových prostorech, Optimální řízení obyčejných diferenciálních rovnic, Optimální řízení parciálních diferenciálních rovnic, Existence a stabilita řešení, Metoda penalty, Podmínka optimality, Numerické aproximace, Vícekriteriální rozhodování, Teorie kooperativních a nekooperativních her, Relaxace, Youngovy míry, Pontrjaginův princip maxima.

Funkční posloupnosti a řady: kriteria bodové a stejnoměrné konvergence. Fourierovy řady: úplné ortogonální systémy, rozvoj funkce do Fourierovy řady, trigonometrické Fourierovy řady. Analýza v komplexním oboru: derivace holomorfní funkce, integrál, Cauchyova věta, Cauchyův integrální vzorec, izolované singularity, Laurentův rozvoj, reziduová věta.

Algoritmy a algoritmicky vyčíslitelné funkce, Markovovy normální algoritmy, Turingův stroj, rekurzívní funkce, rekurzívní a rekurzívně spočetné množiny, aritmetizace, predikáty, s-m-n teorém, produktivní a kreativní množiny, algoritmicky neřešitelné problémy.

Výroky, tautologie, axiomatizace, teorémy, bezespornost, úplnost a rozhodnutelnost výrokového kalkulu. Relační struktury, matematické teorie prvního řádu, termy, formule, tautologie, axiomatizace, teorémy, splňování, pravdivost, model, bezespornost, úplnost, nerozhodnutelnost predikátového kalkulu, neúplnost aritmetiky.

Základy jazyka Java, programování appletů, Java Beans. Jazyk HTML, příklad webového serveru (Apache), CGI rozhraní. Přístup k databázím (ODBC). Servlety a Java Server Pages. Vlákna v jazyce Java, komunikace po síti (sockets, remote method invocation, CORBA). Infrastruktura pro aplikační servery (Enterprise Java Beans). XML (SAX a DOM parsers), Web services (SOAP, Axis).

Fuzzy logika jakožto logika vágnosti, Lukasiewiczova logika. Expertní systémy založené na pravidlech a kritika práce s nejistotou v nich. Pravděpodobnostní přístup, influenční diagramy.

Základy kombinatoriky: Podrobné odvození vzorců pro výpočet variace, kombinace a permutace (s a bez opakování). Velký počet příkladů na důkladné procvičení. Předpokládaný počet hodin: 6.

Klasická definice pravděpodobnosti: Zavedení klasické a geometrické definice pravděpodobnosti opět s důkladným procvičením. Předpokládaný počet hodin: 4.

Statistická definice pravděpodobnosti: Zjednodušeně popsaná definice, elementární jev, jev, význam množinových operací, neslučitelné jevy, nezávislé jevy, podmíněná pravděpodobnost. Ukázka na jednoduchých příkladech. Předpokládaný počet hodin: 4.

Náhodné veličiny: Zjednodušená definice, diskrétní a spojitá náhodná veličina, distribuční funkce, hustota pravděpodobnosti. Vysvětlení výpočtu pravděpodobnosti jevu (tj. suma a nebo integrál přes množinu). Definice střední hodnoty a rozptylu, částečné vysvětlení významu s tím, že tyto pojmy budou lépe vysvětleny a procvičeny v následující látce. Předpokládaný počet hodin: 2.

Rozdělení diskrétního typu: Bernoulliova veličina, Binomické rozdělení (možná i Poissonovo). Ukázka na příkladech. Předpokládaný počet hodin: 2.

Rozdělení spojitého typu: Rovnoměrné rozdělení, Normální rozdělení, Cauchyovo rozdělení. Výpočet střední hodnoty a rozptylu.Ukázky na příkladech. Předpokládaný počet hodin: 2.

Zákon velkých čísel: Formulace věty a její zjednodušené vysvětlení, ukázka na jednoduchých příkladech (ukázka s Cauchyovým rozdělením). Něco málo o centrální limitní větě s jednoduchým příkladem – nejlépe ukázka na počítači. Předpokládaný počet hodin: 2.

Správa paměti (virtuální paměť, algoritmy pro výměnu stránek), procesy, komunikace mezi procesy (semafory, monitory, zprávy), plánování procesů, vstup/výstup, ovladače periferií, systém souborů (struktura adresářů, správa diskového prostoru, sdílené soubory), grafické uživatelské rozhraní, síťové protokoly.

Základní pojmy a operace: vzorkování a kvantování obrazu, 2-D konvoluce, 2-D FT. Předzpracování obrazu: potlačení šumu, detekce hran, zaostření obrazu, inverzní a Wienerův filtr, dekonvoluce. Geometrické transformace obrazu, problém korespondence, registrace, Segmentace obrazu, morfologie.

Obecná teorie rozpoznávání: klasifikátory lineární, NN, k-NN, Bayessův. Výběr příznaku, redukce dimenzionality, příznaky pro popis a rozpoznávání 2-D objektu.