Numericka spektralni faktorizace pro rizeni v realnem case

školitel: F. Kraffer
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM, II_SIMI, II_TS
klíčová slova: numericka linearni algebra, software, kvadraticke rizeni
popis: V teorii absolutni stability a optimalniho rizeni byla Kalmanem, Popovem a dalsimi [1,2] aplikovana zakladni veta, ktera rika, ze ctvercovou matici nad okruhem polynomu s koeficienty v telese realnych cisel, dale znacena jako B(s), je mozno representovat formou B(s) = A´(-s)A(s), (1) kde A(s) je ctvercova matice nad okruhem polynomu s koeficienty v telese realnych cisel a s je komplexni promenna. Obe matice jsou nesingularni a maji specificke vlastnosti, dane formulaci uloh, kde vznikaji. Prikladem je tzv. linearni kvadraticke rizeni; konkretne frekvencni verze uloh LQG (Linear Quadratic Gaussian), kde linearni casove invariantni system ruseny Gausovym sumem je optimalizovan dle kvadratickeho kriteria. Presny vyznam rovnic (1) je, ze danemu systemu je zpetnou vazbou prirazena dynamika dana invariantnimi polynomy matice A(s). Zakladni veta rika, ze nutna a postacujici podminka, aby matice B(s) = B´(-s) mela reprezentaci (1) je, ze pro Re(s) = 0 musi byt Hermitovska matice B(s) positivne semidefinitni. To znamena, ze pro libovolny (kompatibilne dimenzovany) vektor z musi platit, ze z´(-s)B(s)z(s) >= 0 jestlize Re(s) = 0. Re(s) oznacuje realnou cast komplexniho cisla s. Vzhledem k prakticke dulezitosti zminenych uloh je pochopitelne, ze velka pozornost je venovana numerickym metodam reseni rovnic (1). V Cechach maji tradici predevsim iterativni metody, ktere se pro systemy s jednim vstupem a jednim vystupem [3,4] v mezinarodnim meritku uspesne komercne prosadili v rizeni plynarenskych siti. Jejich zobecneni pro systemy s vice vstupy a vice vystupy [5] bylo pozdeji implementovano v souboru programu [6] a postupne modifikovano. V soucasnosti se ukazuje, ze [6] a nasledne modifikace je mozno dramaticky zlepsit novou interpretaci problemu [7]. Zlepseni nastava hned v nekolika ohledech a ma vyznam, mj. pro rizeni v realnem case. Dalsiho vyrazneho zrychleni, cca 70-80 % casu potrebneho dle [7], je mozno dosahnout dle [8]. Od toho se odviji zadani nasledujici ulohy: Naprogramovat a porovnat iterativni algoritmy na reseni rovnice (1). Naprogramovanim se mini provedeni nekolika implementaci jedne kazde metody. Porovnanim se mini (i) porovnani implementaci v ramci metody, (ii) vybrani nejuspesnejsich implementaci, (iii) porovnani metod porovnanim jejich nejuspesnejsich implementaci.
literatura: [1] R.E. Kalman, Contributions to the theory of optimal control, Bol. Soc. Mat. Mexicana, 1960. [2] V.M. Popov, L´Hyperstabilite des Systemes Automatiques, DUNOD, Paris, 1973. [3] Z. Vostry, New Algorithm for Polynomial Spectral Factorization with Quadratic Convergence I, Kybernetika, 11, 6, 415-422, 1975. [4] Z. Vostry, New Algorithm for Polynomial Spectral Factorization with Quadratic Convergence II, Kybernetika, 12, 4, 248-259, 1976. [5] J. Jezek, V. Kucera, Efficient Algorithm for Matrix Spectral Factorization, Automatika, 21, 6, 663-669, 1985. [6] D. Henrion, F. Kraffer, H. Kwakernaak, S. Pejchova, M. Sebek, R.C.W. Strijbos, Tutorial and Manuals, Parts 1-2. Systems and Control Group, Dept. Appl. Math., University of Twente, The Netherlands: Polynomial Toolbox Version 1.5., 1997. [7] F. Kraffer, J.-J. Loiseau, Spectral factorization via Lyapunov equation based Newton-Raphson iteration, Proc. American Control Conference, 5126-5131, 2002. [8] F. Kraffer, Fast Iterative Mehod for Spectral Factorization of Polynomial Matrices, Tech. Rep. PIMAyC, Instituto Mexicano del Petroleo, 2003.
naposledy změněno: 16.09.2011 08:25:53

za obsah této stránky zodpovídá: Ľubomíra Dvořáková | naposledy změněno: 12.9.2011
Trojanova 13, 120 00 Praha 2, tel. 224 358 540, pevná linka 224 923 098, fax 234 358 643
České vysoké učení technické v Praze | Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská | Katedra matematiky