doc. Ing. Ľubomíra Dvořáková, Ph.D.

Každý jistě ví, že palindrom je slovo, které je stejné při čtení zepředu i pozpátku. O přirozeném čísle p řekneme, že je palindromem v bázi b, kde b je přirozené číslo, pokud jeho zápis p=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n v bázi b pomocí cifer 0 až b-1 splňuje, že a_0 a_1 a_2...a_n je palindrom, tj. a_k=a_{n-k} pro každé k od 0 do n. Podobně o přirozeném čísle a řekneme, že je antipalindromem v bázi b pokud jeho zápis a=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n v bázi b pomocí cifer 0 až b-1 splňuje a_k+a_{n-k}=b-1 pro každé k od 0 do n. Příkladem palindromu v bázi 10 je 9339 a příkladem antipalindromu v bázi 10 je 9360.

Cílem práce je prostudovat pro antipalindromy vlastnosti, které jsou známé pro palindromy. Jmenujme namátkově: dělitelnost a prvočísla mezi antipalindromy, výskyt palindromů mezi antipalindromy a naopak, mocniny mezi antipalindromy, atd. Inspirací ke studiu antipalindromů nám byl výsledek z kombinatoriky na slovech, který říká, že jedno z nejslavnějších slov -- Thueovo-Moreovo slovo -- je bohaté na palindromy a antipalindromy zároveň [1].

1. Pelantová E., Starosta Š.: Constructions of words rich in palindromes and pseudopalindromes, Discrete Mathematics &Theoretical Computer Science 18(3) (2016)

Cílem práce bude studium některých charakteristik nedávno definované třídy faktorových jazyků nazvaných dendrické množiny [1]. Tato třída je zajímavá tím, že zobecňuje současně dvě velice podrobně prozkoumané třídy: slova definovaná Arnouxem a Rauzym v [2] a slova kódující výměnu intervalů. Přitom tyto dvě třídy jsou na vícepísmenné abecedě disjunktní. I když se dendrickým množinám věnuje v posledních letech velká pozornost, mnohé jejich charakteristiky zatím nejsou známé. Jedná se např. o kritický exponent, palindromickou komplexitu [3], popis podtřídy slov bohatých na palindromy, resp. zobecněné palindromy [4], vztah balancovaných slov k dendrickým množinám atd. Zdá se, že silným nástrojem při studiu těchto vlastností by mohla být znalost S-adické reprezentace dendrických slov objevená v [5]. Dalším z cílů práce bude i konstrukce nových typů dendrických množin.

1. V. Berthé, C. De Felice, F. Dolce, J. Leroy, D. Perrin, Ch. Reutenauer, G. Rindone, Acyclic, connected and tree sets. Monatsh. Math., 176(4) (2015) 521–550
2. P. Arnoux, G. Rauzy, Représentation géometrique de suites de complexité 2n + 1, Bull. Soc. Math. France 119(2) (1991) 199–2
3. L. Balková, E. Pelantová, Š. Starosta: Sturmian Jungle (or Garden?) on Multiliteral Alphabets, RAIRO Theor. Inf. Appl. 44 (2010) 443-470
4. L. Balková, E. Pelantová, Š. Starosta, Infinite words with finite defect, Adv. Appl. Math. 47 (2011) 562-574
5. V. Berthé, F. Dolce, F. Durand, J. Leroy, D. Perrin, Rigidity and substitutive dendric words, Int. J. of Found. of Comp. Sci., 29(05) (2018) 705-720

The aim of the proposed project is to obtain optimization results for the ground-state energy in a family of model quantum systems with magnetic fields and non-trivial geometry.

From the mathematical point of view, it means that there is a differential operator on a domain that describes the magnetic system, and the goal is to show that its smallest eigenvalue attains the maximal or the minimal value for some specific shape. Typically, the optimal shape for the ground-state energy is radially symmetric [1, 3], and it can, for example, be the disk or the annulus. Optimization with magnetic fields is much less understood than without them and even very fundamental questions remain open [2], but it is certainly possible to select the setting, which is feasible to analyze within the bachelor or diploma project. The outcome of the project is expected to be a rigorous mathematical proof that certain shape optimizes the ground-state energy. On the level of the bachelor project partial results in this direction will also be sufficient.

1. L. Erdos, Rayleigh-type isoperimetric inequality with a homogeneous magnetic field, Calc. Var. PDE 4 (1996), 283-292.
2. S. Fournais and B. Helffer, Inequalities for the lowest magnetic Neumann eigenvalue, Lett. Math. Phys. 109 (2019), 1683-1700. http://arxiv.org/pdf/1706.01950.pdf
3. A. Kachmar and V. Lotoreichik, On the isoperimetric inequality for the magnetic Robin Laplacian with negative boundary parameter, http://arxiv.org/pdf/2108.05256.pdf