doc. Ing. Ľubomíra Dvořáková, Ph.D.

Palindromické číslo v přirozené bázi b, b >1, je přirozené číslo, které má v bázi b palindromický zápis. O palindromických číslech v desítkové bázi je známá celá řada informací:

1. Každé přirozené číslo je součtem nejvýše tří palindromických čísel v bázi 10.
2. Existují polynomy generující nekonečně mnoho palindromických čtverců v bázi 10.
3. Je známá nutná a postačující podmínka, aby v aritmetické posloupnosti existovalo nekonečně mnoho palindromických čísel v bázi 10.

Některá z výše uvedených tvrzení a dalších tvrzení o palindromických číslech jsou dokázána pro desítkovou bázi, případně i další přirozené báze, ale často ne pro všechny. Cílem práce bude zobecňovat známé výsledky i pro další báze. Uplatní se jak teoretik, tak i student, který bude odvozovat hypotézy na základě počítačových simulací.

1. Cilleruelo J., Luca F., Baxter L.: Every positive integer is a sum of three palindromes, Math. Comp. 87 (2018), 3023-3055
2. Korec I.: Palindromic squares for various number system bases, Mathematica Slovaca 41(3) (1991), 261-276
3. Harminc M., Soták R.: Palindromic numbers in arithmetic progressions, Fibonacci Quart. 36 (1998), 259–261

Sturmovská slova jsou nejjednoduššími aperiodickými binárními slovy. V kombinatorice na slovech hrají proto zásadní roli. Jejich známým zobecněním na vícepísmenné abecedy jsou Arnouxova-Rauzyova slova (krátce AR slova).

Ke každému sturmovskému slovu přísluší tzv. řídící posloupnost morfismů. Práce se bude zabývat následujícími otázkami:

1. Jaký je vztah mezi řídící posloupností slova a jeho shiftem, tj. slova, které vznikne vymazáním prvního písmene. Podobná otázka je k zodpovězení i u AR slov.
2. Je-li posloupnost morfismů posléze periodická, za jaké podmínky ji lze přepsat na periodickou?
3. J. Peltomaki definoval odmocninu ze sturmovského slova. Otevřeným problémem je, jak souvisí řídící posloupnost sturmovského slova a jeho odmocniny.
4. Jak rozhodnout o tzv. amicabilitě morfismů.

Práce je vhodná jak pro teoretiky, tak i pro studenty, kteří hypotézy odvodí z vlastní počítačové simulace.

1. Peltomaki J.: A Square Root Map on Sturmian Words, The Electronic Journal of Combinatorics 24(1) (2017), #P1.54
2. Ambrož P., Masáková Z., Pelantová E.: Morphisms fixing words associated with exchange of three intervals, arXiv:0811.2147 (2018)

Každý jistě ví, že palindrom je slovo, které je stejné při čtení zepředu i pozpátku. O přirozeném čísle p řekneme, že je palindromem v bázi b, kde b je přirozené číslo, pokud jeho zápis p=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n v bázi b pomocí cifer 0 až b-1 splňuje, že a_0 a_1 a_2...a_n je palindrom, tj. a_k=a_{n-k} pro každé k od 0 do n. Podobně o přirozeném čísle a řekneme, že je antipalindromem v bázi b pokud jeho zápis a=a_0+a_1b+a_2b^2+...+a_nb^n v bázi b pomocí cifer 0 až b-1 splňuje a_k+a_{n-k}=b-1 pro každé k od 0 do n. Příkladem palindromu v bázi 10 je 9339 a příkladem antipalindromu v bázi 10 je 9360.

Cílem práce je prostudovat pro antipalindromy vlastnosti, které jsou známé pro palindromy. Jmenujme namátkově: dělitelnost a prvočísla mezi antipalindromy, výskyt palindromů mezi antipalindromy a naopak, mocniny mezi antipalindromy, atd. Inspirací ke studiu antipalindromů nám byl výsledek z kombinatoriky na slovech, který říká, že jedno z nejslavnějších slov -- Thueovo-Moreovo slovo -- je bohaté na palindromy a antipalindromy zároveň [1].

1. Pelantová E., Starosta Š.: Constructions of words rich in palindromes and pseudopalindromes, Discrete Mathematics &Theoretical Computer Science 18(3) (2016)

Cílem práce bude studium některých charakteristik nedávno definované třídy faktorových jazyků nazvaných dendrické množiny [1]. Tato třída je zajímavá tím, že zobecňuje současně dvě velice podrobně prozkoumané třídy: slova definovaná Arnouxem a Rauzym v [2] a slova kódující výměnu intervalů. Přitom tyto dvě třídy jsou na vícepísmenné abecedě disjunktní. I když se dendrickým množinám věnuje v posledních letech velká pozornost, mnohé jejich charakteristiky zatím nejsou známé. Jedná se např. o kritický exponent, palindromickou komplexitu [3], popis podtřídy slov bohatých na palindromy, resp. zobecněné palindromy [4], vztah balancovaných slov k dendrickým množinám atd. Zdá se, že silným nástrojem při studiu těchto vlastností by mohla být znalost S-adické reprezentace dendrických slov objevená v [5]. Dalším z cílů práce bude i konstrukce nových typů dendrických množin.

1. V. Berthé, C. De Felice, F. Dolce, J. Leroy, D. Perrin, Ch. Reutenauer, G. Rindone, Acyclic, connected and tree sets. Monatsh. Math., 176(4) (2015) 521–550
2. P. Arnoux, G. Rauzy, Représentation géometrique de suites de complexité 2n + 1, Bull. Soc. Math. France 119(2) (1991) 199–2
3. L. Balková, E. Pelantová, Š. Starosta: Sturmian Jungle (or Garden?) on Multiliteral Alphabets, RAIRO Theor. Inf. Appl. 44 (2010) 443-470
4. L. Balková, E. Pelantová, Š. Starosta, Infinite words with finite defect, Adv. Appl. Math. 47 (2011) 562-574
5. V. Berthé, F. Dolce, F. Durand, J. Leroy, D. Perrin, Rigidity and substitutive dendric words, Int. J. of Found. of Comp. Sci., 29(05) (2018) 705-720