prof. Dr. Ing. Michal Beneš

e-mail: zobrazit e-mail
telefon: +420 22435 8555
místnost: 110
www: http://tjn.fjfi.cvut.cz/~benes
 
rozvrh
předmět kód vyučující zs ls zs kr. ls kr.
Diferenciální rovnice01DIFR Beneš - - 3+1 z,zk - 4
Předmět:Diferenciální rovnice01DIFRprof.Dr.Ing. Beneš Michal-3+1 Z,ZK-4
Anotace:Předmět je věnován úvodu do problematiky obyčejných diferenciálních rovnic a obsahuje přehled analyticky řešitelných typů diferenciálních rovnic, základy existenční teorie, principy řešení lineárních typů rovnic a úvod do problematiky okrajových úloh.
Osnova:1. Úvod - motivace v aplikacích
2. Základní pojmy teorie obyčejných diferenciálních rovnic
3. Řešení speciálních typů rovnic 1. řádu:
- separované a separovatelné rovnice, homogenní rovnice, rovnice s racionálním argumentem pravé strany, lineární rovnice, Bernoulliho rovnice, Riccatiho rovnice, rovnice tvaru x=f(y') a y=f(y')
4. Existenční teorie pro rovnici tvaru y'=f(x,y) - věta Peanova a Osgoodova
5. Závislost řešení na pravé straně diferenciální rovnice a počátečních podmínkách
6. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
7. Systémy lineárních diferenciálních rovnic
8. Okrajové úlohy
Osnova cvičení:1. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice separovatelné
2. Homogenní a kvazihomogenní diferenciální rovnice
3. Rovnice s racionálním argumentem pravé strany
4. Lineární diferenciální rovnice 1.řádu
5. Bernoulliho rovnice a Riccatiho rovnice
6. Diferenciální rovnice tvaru: x=f(y') a y=f(y')
7. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, nalezení fundamentálního systému pro rovnici n-tého řádu
8. Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty
Cíle:Znalosti:
Analytické řešení vybraných typů rovnic, základy existenční teorie, řešení lineárních typů rovnic.

Schopnosti:
Řešit analyticky známé typy obyčejných diferenciálních rovnic, provádět matematickou analýzu počátečních úloh, řešit lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a diferenciálních rovnic (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2).
Rozsah práce:Součástí individuální práce studentů je procvičování v analytickém řešení vybraných příkladů diferenciálních rovnic. Výsledek je ověřen u zkoušky v rámci písemné části.
Kličová slova:Počáteční úlohy pro diferenciální rovnice, Eulerova lomená čára, Peanova věta, fundamentální systém, wronskián, metoda variace konstant.
Literatura:Povinná literatura:
[1] J. Kluvánek, L. Mišík a M. Švec, Matematika II, SVTL Bratislava 1961
[2] K. Rektorys a kol. Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 1995

Doporučená literatura:
[3] L.S.Pontrjagin, Obyknovennyje differencialnyje uravnenija, Nauka, Moskva 1965
[4] A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, Chapman and Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003
[5] M.W.Hirsch, S.Smale, Differential Equations, Dynamical systems, and Linear
Algebra, Academic Press, Boston, 1974
[6] F.Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, Berlin 1990
[7] W. Walter, Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Springer, Berlin 1990

Geometrická teorie diferenciálních rovnic01GTDR Beneš 0+2 z - - 2 -
Předmět:Geometrická teorie diferenciálních rovnic01GTDRprof.Dr.Ing. Beneš Michal0+2 Z-2-
Anotace:Předmět zahrnuje tzv. kvalitativní teorii obyčejných diferenciálních rovnic zabývající se typy řešení a jejich topologií. V této souvislosti jsou uvedeny také vhodně formulované základní poznatky o existenci a spojité závislosti na parametrech a počátečních podmínkách. Hlavní část je věnována autonomním systémům.
Osnova:1. Základní věta o existenci a jednoznačnosti
2. Věta o spojité závislosti řešení na parametrech
3. Diferencovatelnost řešení podle parametrů
4. Spojitá závislost řešení na počátečních podmínkách a diferencovatelnost podle počátečních podmínek
5. Základní pojmy teorie autonomních systémů
6. Analýza řešení autonomních systémů (typy řešení a fázový prostor)
7. Exponenciela operátoru
8. Soustava rovnic 2 x 2
9. Stabilita podle Ljapunova
10. Limitní cykly
11. Poincarého zobrazení
12. První integrály a integrální variety
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Geometrická teorie obyčejných diferenciálních rovnic, autonomní systémy, Ljapunovská stabilita, limitní cykly, Poincarého zobrazení.

Schopnosti:
Formulace počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice, matematická analýza těchto úloh, geometrická analýza řešení.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a diferenciálních rovnic (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, 01DIFR).
Rozsah práce:Individuální činnost studentů je dána úkolem nastudování vybrané partie z obsahu semináře a její prezentace ostatním.
Kličová slova:Obyčejné diferenciální rovnice, kvalitativní teorie, závislost na parametrech, autonomní systémy, limitní cykly, Poincarého zobrazení.
Literatura:Povinná literatura:
[1] M.W.Hirsch, S.Smale, Differential Equations, Dynamical systems, and Linear Algebra, Academic Press, Boston, 1974
[2] F.Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin 1990

Doporučená literatura:
[3] L.S.Pontrjagin, Obyknovennyje differencialnyje uravnenija, Nauka, Moskva 1965

Metoda konečných prvků01MKP Beneš - - 2 zk - 3
Předmět:Metoda konečných prvků01MKPprof.Dr.Ing. Beneš Michal-2 ZK-3
Anotace:Obsahem předmětu je výklad metody konečných prvků pro řešení okrajových a smíšených úloh pro parciální diferenciální rovnice. Jsou uvedeny matematické vlastnosti metody a odvozeny odhady chyby při aproximaci touto metodou.
Osnova:1. Slabé řešení okrajové úlohy pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.
2. Galerkinova metoda
3. Základní princip a výhody metody konečných prvků
4. Definice a běžné typy konečných prvků
5. Vystředovaný Taylorův polynom
6. Lokální a globální interpolant
7. Bramble-Hilbertovo lemma
8. Globální věta o interpolační chybě
9. Matematické vlastnosti metody konečných prvků a podrobnosti použití
10. Ukázky moderních programových balíků používajících metody konečných prvků
Osnova cvičení:Cvičení je propojeno s výkladem a obsahuje příklady formulace úloh řešených metodou konečných prvků, příklady funkčních bází, příklady k výkladu interpolační teorie a ukázky moderních programových balíků používajících metodu konečných prvků.
Cíle:Znalosti:
Slabá formulace okrajových a smíšených úloh pro parciální diferenciální rovnice, Galerkinova metoda, princip metody konečných prvků, odhad chyby, běžné způsoby použití metody.

Schopnosti:
Formulace zadaného problému z praxe do podoby zpracovatelné pomocí metody konečných prvků, implementace metody, její aplikace, interpretace výsledků a stanovení chyby aproximace.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky, variační metody (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA, NM, nebo 01MA1, 01MAB2-4, 01LA1, 01LAB2, NMET, VAME).
Rozsah práce:Individuální činnost studentů je věnována osvojení a vyzkoušení práce s programovým balíkem pro metodu konečných prvků. Tyto schopnosti jsou ověřeny u zkoušky úkolem implementovat zadanou úlohu z praxe.
Kličová slova:Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice, metoda konečných prvků, Galerkinova metoda, Bramble-Hilbertovo lemma, chyba interpolace.
Literatura:Povinná literatura:
[1] S. C. Brenner a L. Ridgway Scott, The mathematical theory of finite element methods, New York, Springer 1994

Doporučená literatura:
[2] K. Rektorys, Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Praha, Academia 1999

Studijní pomůcky:
Počítačová učebna s operačním systémem Windows/Linux a programovým balíkem FEM

Matematické modelování nelineárních systémů01MMNS Beneš 2 zk - - 3 -
Předmět:Matematické modelování nelineárních systémů01MMNSprof.Dr.Ing. Beneš Michal2 ZK-3-
Anotace:Předmět zahrnuje základní pojmy a poznatky teorie dynamických systémů konečné a nekonečné dimenze generovaných evolučními diferenciálními rovnicemi, charakteristiku bifurkací a chaosu. Druhá část je věnována výkladu základních pojmů fraktální geometrie zkoumající atraktory těchto dynamických systémů.
Osnova:I. Úvodní poznámky
II. Dynamické systémy a chaos
1. Základní pojmy a tvrzení
2. Konečněrozměrné dynamické systémy a geometrická teorie obyčejných diferenciálních rovnic
3. Nekonečněrozměrné dynamické systémy a geometrická teorie parciálních diferenciálních rovnic
4. Bifurkace a chaos; prostředky k jejich vyšetřování
III. Matematické základy fraktální geometrie
1. Motivační příklady a vztah k dynamickým systémům
2. Topologická dimenze
3. Obecná teorie míry
4. Hausdorffova dimenze
5. Pokusy o definici geometricky složité množiny
6. Iterační systémy funkcí
IV. Závěr - použití pro matematické modelování
Osnova cvičení:Cvičení je součástí výkladu a obsahuje řešení konkrétních příkladů z geometrické teorie diferenciálních rovnic, metody linearizace, Ljapunovovy funkce, bifurkací a fraktálních množin.
Cíle:Znalosti:
Deterministické dynamické systémy, popis chaotického stavu, geometrická teorie obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, teoretické základy fraktální geometrie.

Schopnosti:
Použití metody linearizace a metody Ljapunovovy funkce ke stanovení stability pevného bodu, bifurkační analýza, stanovení stability periodické trajektorie, charakteristika fraktálních množin a měření jejich dimenze.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a obyčejných diferenciálních rovnic, funkcionální analýza, variační metody (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, DIFR, nebo 01MA1, 01MAB2-4, 01LA1, 01LAB2, FA1, VAME).
Rozsah práce:Individuální činnost studentů je dána prací na zvoleném obtížnějším příkladu analýzy konkrétního dynamického systému. Tyto schopnosti jsou při odevzdání řešení tohoto úkolu do data zkoušky.
Kličová slova:Evoluční diferenciální rovnice, dynamický systém, atraktor, bifurkace a chaos, topologická a Hausdorffova dimenze, iterační soubory funkcí.
Literatura:Povinná literatura:
[1] F.Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin 1990
[2] M.Holodniok, A.Klíč, M.Kubíček, M.Marek, Metody analýzy nelineárních dynamických modelů, Academia, Praha 1986
[3] G.Edgar, Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer Verlag, Berlin 1989

Doporučená literatura:
[4] D.Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer Verlag, Berlin 1981
[5] R.Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer Verlag, Berlin 1988

Studijní pomůcky:
Webová prezentace předmětu s vybranými motivačními příklady.

Numerické metody 201NME2 Beneš - - 2+0 kz - 2
Předmět:Numerické metody 201NME2prof.Dr.Ing. Beneš Michal-2+0 KZ-2
Anotace:Obsahem předmětu je výklad numerických metod pro řešení okrajových a smíšených úloh pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice. Jedná se o metody převodu okrajové úlohy na počáteční a metodu konečných diferencí pro eliptické, parabolické a hyperbolické parciální diferenciální rovnice.
Osnova:I. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic - okrajové úlohy
1. Metoda střelby
2 Metoda přesunu okrajové podmínky
3. Metoda sítí
4. Řešení nelineárních rovnic
II. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu
1. Metoda sítí pro lineární rovnice druhého řádu
2. Základ pojmů konvergence a odhad chyb
3. Metoda přímek
III. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu
1. Metoda sítí pro rovnici o jedné prostorové proměnné
2. Metoda přímek
IV. Numerické řešení hyperbolických zákonů zachování
1. Formulace a vlastnosti hyperbolických zákonů zachování
2. Nejjednodušší diferenční metody
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Numerické metody založené na převodu okrajové úlohy na úlohu počáteční, metoda sítí pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice.

Schopnosti:
Použití uvedených numerických metod na konkrétní příklady z fyzikální a inženýrské praxe včetně implementace na výpočetní technice a stanovení chyby aproximace.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAB2-4, 01LA1, 01LAB2, 12NME1).
Rozsah práce:Individuální práce studentů zahrnuje implementaci a vyzkoušení vlastního programu pro řešení vybrané okrajové úlohy. Výsledek je ověřen u zkoušky prezentací funkčnosti programu.
Kličová slova:Okrajové a smíšené úlohy pro diferenciální rovnice, metoda střelby, metoda konečných diferencí, diferenční schéma, metoda energetických nerovností pro vyšetřování vlastností numerických schémat, explicitní a implicitní metody, zákony zachování.
Literatura:Povinná literatura:
[1] A.A. Samarskij, Teoria raznostnych schem, Moskva, Nauka 1983
[2] A.A. Samarskij a J.S. Nikolajev, Numerické řešení velkých řídkých soustav, Praha, Academia 1985
[3] E.Vitásek, Numerické metody, SNTL, Praha 1987
[4] R.J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Basel Birkhäuser 1992

Doporučená literatura:
[5] E. Godlewski a P.-A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conversation laws, New York, Springer 1996

Studijní pomůcky:
Počítačová učebna Windows/Linux s programovacími jazyky C, Pascal, Fortran.

Numerická matematika 201NUM2 Beneš - - 2+1 z,zk - 3
Předmět:Numerická matematika 201NUM2prof.Dr.Ing. Beneš Michal-2+1 Z,ZK-3
Anotace:Obsahem předmětu je výklad numerických metod pro řešení okrajových a smíšených úloh pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice. Jedná se o metody převodu okrajové úlohy na počáteční a metodu konečných diferencí pro eliptické, parabolické a hyperbolické parciální diferenciální rovnice.
Osnova:I. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic - okrajové úlohy
1. Metoda střelby
2 Metoda přesunu okrajové podmínky
3. Metoda sítí
4. Řešení nelineárních rovnic
II. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu
1. Metoda sítí pro lineární rovnice druhého řádu
2. Konvergence a odhad chyb
3. Metoda přímek
III. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu
1. Metoda sítí pro rovnici o jedné prostorové proměnné
2. Metoda sítí pro rovnici o více prostorových proměnných
3. Metoda přímek
IV. Numerické řešení hyperbolických zákonů zachování
1. Formulace a vlastnosti hyperbolických zákonů zachování
2. Nejjednodušší diferenční metody
Osnova cvičení:1. Taylorův rozvoj v kontextu diferenčních vzorců se speciálními vlastnostmi
2. Metoda normalizovaného přesunu
3. Řešení nelineárních diferenčních okrajových úloh
4. Definice slabého řešení eliptické okrajové úlohy
5. Vztah diferenčních aproximací a metody konečných objemů.
Cíle:Znalosti:
Numerické metody založené na převodu okrajové úlohy na úlohu počáteční, metoda sítí pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice.

Schopnosti:
Použití uvedených numerických metod na konkrétní příklady z fyzikální a inženýrské praxe včetně implementace na výpočetní technice a stanovení chyby aproximace.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA2, 01NM).

Rozsah práce:Individuální práce studentů zahrnuje implementaci a vyzkoušení vlastního programu pro řešení vybrané okrajové úlohy. Výsledek je ověřen u zkoušky prezentací funkčnosti programu.
Kličová slova:Okrajové a smíšené úlohy pro diferenciální rovnice, metoda střelby, metoda konečných diferencí, diferenční schéma, metoda energetických nerovností pro vyšetřování vlastností numerických schémat, explicitní a implicitní metody, zákony zachování.
Literatura:Povinná literatura:
[1] A.A. Samarskij, Teoria raznostnych schem, Moskva, Nauka 1983
[2] A.A. Samarskij a J.S. Nikolajev, Numerické řešení velkých řídkých soustav, Praha, Academia 1985
[3] E.Vitásek, Numerické metody, SNTL, Praha 1987
[4] R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002

Doporučená literatura:
[5] R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, Steady State and Time Dependent Problems, SIAM, 2007
[6] E. Godlewski a P.-A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conversation laws, New York, Springer 1996

Studijní pomůcky:
Počítačová učebna Windows/Linux s programovacími jazyky C, Pascal, Fortran.

Pokročilé numerické metody01PNM Beneš - - 2+0 kz - 2
Předmět:Pokročilé numerické metody01PNMprof.Dr.Ing. Beneš Michal-2+0 KZ-2
Anotace:Obsahem předmětu je výklad pokročilých numerických metod pro řešení okrajových a smíšených úloh pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice. Jedná se o metodu střelby, pokročilé partie metody sítí a o metodu konečných objemů pro nelineární eliptické, parabolické a hyperbolické parciální diferenciální rovnice.
Osnova:I. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic - okrajové úlohy
1. Metoda střelby
2 Metoda sítí a nelineární úlohy
II. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu
1. Metoda sítí pro nelineární rovnice druhého řádu
2. Konvergence a odhad chyb
3. Metoda konečných objemů
III. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu
1. Metoda sítí pro nelineární evoluční úlohy
2. Metoda přímek
3. Metoda konečných objemů
IV. Numerické řešení hyperbolických zákonů zachování
1. Formulace a vlastnosti hyperbolických zákonů zachování
2. Nejjednodušší diferenční metody
3. Metoda konečných objemů
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti:
Numerické metody pro řešení nelineárních okrajových úloh, metoda sítí pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice, metoda konečných objemů.

Schopnosti:
Použití uvedených numerických metod na konkrétní příklady z fyzikální a inženýrské praxe včetně implementace na výpočetní technice a stanovení chyby aproximace.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAB2-4, 01LA1, 01LAB2, 12NME1).
Rozsah práce:Individuální práce studentů zahrnuje implementaci a vyzkoušení vlastního programu pro řešení vybrané okrajové úlohy. Výsledek je ověřen u zkoušky prezentací funkčnosti programu.
Kličová slova:Okrajové a smíšené úlohy pro diferenciální rovnice, metoda střelby, metoda konečných diferencí, diferenční schéma, metoda energetických nerovností pro vyšetřování vlastností numerických schémat, explicitní a implicitní metody, zákony zachování, metoda konečných objemů.
Literatura:Povinná literatura:
[1] A.A. Samarskij, Teoria raznostnych schem, Moskva, Nauka 1983
[2] A.A. Samarskij a J.S. Nikolajev, Numerické řešení velkých řídkých soustav, Praha, Academia 1985
[3] R.J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, Steady State and Time Dependent Problems, SIAM, 2007
[4] R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002

Doporučená literatura:
[5] E. Godlewski a P.-A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conversation laws, New York, Springer 1996
[6] E.Vitásek, Numerické metody, SNTL, Praha 1987

Studijní pomůcky:
Počítačová učebna Windows/Linux s programovacími jazyky C, Pascal, Fortran.

Variační metody01VAM Beneš 2 zk - - 3 -
Předmět:Variační metody01VAMprof.Dr.Ing. Beneš Michal2 ZK-3-
Anotace:Předmět obsahuje metody klasického variačního počtu - vyšetřování extrémů funkcionálů pomocí Eulerových rovnic, vlastností druhé derivace (variace), konvexnosti nebo monotonie. Dále je věnován vyšetřování kvadratického funkcionálu, zobecněného řešení, Sobolevových prostorů a řešení variační úlohy pro eliptické parciální diferenciální rovnice.
Osnova:1. Extrém funkcionálu, Eulerovy rovnice.
2. Podmínky existence extrému.
3. Věta o minimu kvadratického funkcionálu a její důsledky.
4. Metody konstrukce minimalizujících posloupností (Galerkinova, nejmenších čtverců).
5. Otázky volby báze.
6. Sobolevovy prostory.
7. Stopy funkcí. Slabá formulace okrajových úloh.
8. V-eliptičnost. Laxova-Milgramova věta.
9. Slabá řešení Dirichletova a Neumannova problému pro eliptické rovnice.
Osnova cvičení:Cvičení je součástí výkladu a obsahuje řešení konkrétních úloh variačního počtu - např. úlohy o nejkratší spojnici, o minimální ploše, průhybu tyče, Cahnovy-Hilliardovy teorie fázových přechodů a pod.
Cíle:Znalosti:
Klasický variační počet - nutné a postačující podmínky existence extrému funkcionálu, Eulerovy rovnice, extrém kvadratického funkcionálu, zobecněné řešení operátorové rovnice, Sobolevovy prostory a slabé řešení okrajové úlohy pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.

Schopnosti:
Nalezení a vyšetření extrému funkcionálu, řešení základních úloh variačního počtu, formulace variační úlohy a určení jejích vlastností.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky, funkcionální analýza (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAA2-4, 01LA1, 01LAA, 01NM, 01FA12).
Rozsah práce:
Kličová slova:Variační počet, Gâteauxova derivace, Fréchetova derivace, extrémy funkcionálů, konvexnost, monotonie, kvadratický funktcionál, Sobolevovy prostory, slabé řešení, Laxova-Milgramova věta.
Literatura:Povinná literatura:
[1] S. V. Fomin, R. A. Silverman, Calculus of variations, Courier Dover Publications, Dover 2000.
[2] K. Rektorys, Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.

Doporučená literatura:
[3] M. A. Lavrentěv a L.A. Ljusternik, Kurs variačního počtu, Přírodovědecké nakladatelství, Praha 1952.
[4] I. M. Gelfand a S.V. Fomin, Variacionnoje isčislenije, GosIzdat, Moskva 1961.
[5] L. E. Elsgolc, Variační počet, SNTL, Praha 1965.
[6] B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London 2004.
[7] B. Van Brunt, The calculus of variations, Birkhäuser, Basel 2004.
[8] E. Giusti, Direct methods in the calculus of variations, World Scientific, Singapore 2003.

Variační metody B01VAMB Beneš 2 kz - - 2 -
Předmět:Variační metody B01VAMBprof.Dr.Ing. Beneš Michal2 KZ-2-
Anotace:Předmět obsahuje metody klasického variačního počtu - vyšetřování extrémů funkcionálů pomocí Eulerových rovnic, vlastností druhé derivace (variace), konvexnosti nebo monotonie. Dále je věnován vyšetřování kvadratického funkcionálu, zobecněného řešení, Sobolevových prostorů a řešení variační úlohy pro eliptické parciální diferenciální rovnice.
Osnova:1. Extrém funkcionálu, Eulerovy rovnice.
2. Podmínky existence extrému.
3. Věta o minimu kvadratického funkcionálu a její důsledky.
4. Sobolevovy prostory.
5. Stopy funkcí. Slabá formulace okrajových úloh.
6. Slabá řešení Dirichletova a Neumannova problému pro eliptické rovnice.
Osnova cvičení:Cvičení je součástí výkladu a obsahuje řešení konkrétních variačního počtu - např. úlohy o nejkratší spojnici, o minimální ploše, průhybu tyče a pod.
Cíle:Znalosti:
Klasický variační počet - nutné a postačující podmínky existence extrému funkcionálu, Eulerovy rovnice, extrém kvadratického funkcionálu, zobecněné řešení operátorové rovnice, Sobolevovy prostory a slabé řešení okrajové úlohy pro eliptickou parciální diferenciální rovnici.

Schopnosti:
Nalezení a vyšetření extrému funkcionálu, řešení základních úloh variačního počtu, formulace variační úlohy a určení jejích vlastností.
Požadavky:Základní kurzy matematické analýzy, lineární algebry a numerické matematiky, funkcionální analýza (dle přednášek na FJFI ČVUT v Praze 01MA1, 01MAB2-4, 01LA1, 01LAB2, 12NME1).
Rozsah práce:
Kličová slova:Variační počet, Gâteauxova derivace, Fréchetova derivace, extrémy funkcionálů, konvexnost, monotonie, kvadratický funktcionál, Sobolevovy prostory, slabé řešení, Laxova-Milgramova věta.
Literatura:Povinná literatura:
[1] S. V. Fomin, R. A. Silverman, Calculus of variations, Courier Dover Publications, Dover 2000.
[2] K. Rektorys, Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.

Doporučená literatura:
[3] M.A. Lavrentěv a L.A. Ljusternik, Kurs variačního počtu, Přírodovědecké nakladatelství, Praha 1952.
[4] I.M. Gelfand a S.V. Fomin, Variacionnoje isčislenije, GosIzdat, Moskva 1961.
[5] L. E. Elsgolc, Variační počet, SNTL, Praha 1965.
[6] B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London 2004.
[7] B. Van Brunt, The calculus of variations, Birkhäuser, Basel 2004.
[8] E. Giusti, Direct methods in the calculus of variations, World Scientific, Singapore 2003.

Články v časopisech

2014

Pauš, P. and Kratochvíl, J. and Beneš, M., Mechanisms controlling the cyclic saturation stress and the critical cross-slip annihilation distance in copper single crystals, Philosophical Magazine Letters 94 (2014) , 45-52
BiBTeX
@ARTICLE{Paus14:21082,
  title = {{Mechanisms controlling the cyclic saturation stress and the critical cross-slip annihilation distance in copper single crystals}},
  author = {Pau{\v s}, P. and Kratochv{\'\i}l, J. and Bene{\v s}, M.},
  journal = {Philosophical Magazine Letters},
  year = {2014},
  volume = {94},
  number = {2},
  pages = {45--52},
  month = {January}
}

2009

Beneš, M. and Knobloch, P. and Tsujikawa, T. and Yazaki, S., Special Issue Editorial, Kybernetika 45 (2009) , 565-566
BiBTeX
@ARTICLE{Benes09:1645,
  title = {{Special Issue Editorial}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Knobloch, P. and Tsujikawa, T. and Yazaki, S.},
  journal = {Kybernetika},
  year = {2009},
  volume = {45},
  number = {4},
  pages = {565--566}
}
Beneš, M. and Knobloch, P. and Tsujikawa, T. and Yazaki, S., Special Issue - Czech Japanese Seminar in Applied Mathematics 2008, Kybernetika 45 (2009) , 565-688
BiBTeX
@ARTICLE{Benes09:1645,
  title = {{Special Issue - Czech Japanese Seminar in Applied Mathematics 2008}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Knobloch, P. and Tsujikawa, T. and Yazaki, S.},
  journal = {Kybernetika},
  year = {2009},
  volume = {45},
  number = {4},
  pages = {565--688}
}

2007

Beneš, M. and Kimura, M. and Nakaki, T., Editorial, Kybernetika 43 (2007) , 765-766
BiBTeX
@ARTICLE{Benes07:1446,
  title = {{Editorial}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Kimura, M. and Nakaki, T.},
  journal = {Kybernetika},
  year = {2007},
  volume = {43},
  number = {6},
  pages = {765--766}
}

Články ve sbornících

Beneš, M. and Minárik, M. and Pauš, P. and Čulík, Z., Moving Boundaries in Material Science, DMHF2007 COE Conference on the Development of Dynamic Mathematics with High Functionality, (2007) , 61-64, Kyushu University
BiBTeX
@INPROCEEDINGS{Benes07:1419,
  title = {{Moving Boundaries in Material Science}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Min{\' a}rik, M. and Pau{\v s}, P. and {\v C}ul{\'\i}k, Z.},
  address = {Fukuoka},
  booktitle = {{DMHF2007 COE Conference on the Development of Dynamic Mathematics with High Functionality}},
  publisher = {Kyushu University},
  year = {2007},
  pages = {61--64}
}
Mikyška, J. and Beneš, M. and Illangasekare, T.H., VODA Multiphase Flow Code for Investigation of NAPL Behavior at Heterogeneous Sand Layers, Proceeding of the 2nd International Conference on Porous Media and its Applications in Science and Engineering, (2007) , -, Universita of California
BiBTeX
@INPROCEEDINGS{Mikyska07:14,
  title = {{VODA Multiphase Flow Code for Investigation of NAPL Behavior at Heterogeneous Sand Layers}},
  author = {Miky{\v s}ka, J. and Bene{\v s}, M. and Illangasekare, T.H.},
  address = {Havai},
  booktitle = {{Proceeding of the 2nd International Conference on Porous Media and its Applications in Science and Engineering}},
  publisher = {Universita of California},
  year = {2007},
  pages = {--}
}
Beneš, M. and Fučík, R. and Mikyška, J. and Illangasekare, T.H., Analytical and Numerical Solution for One-Dimensional Two-Phase Flow in Homogeneous Porous Medium, Proceeding of the 2nd International Conference on Porous Media and its Applications in Science and Engineering, (2007) , -, Universita of California
BiBTeX
@INPROCEEDINGS{Benes07:1404,
  title = {{Analytical and Numerical Solution for One-Dimensional Two-Phase Flow in Homogeneous Porous Medium}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Fu{\v c}{\'\i}k, R. and Miky{\v s}ka, J. and Illangasekare, T.H.},
  address = {Havai},
  booktitle = {{Proceeding of the 2nd International Conference on Porous Media and its Applications in Science and Engineering}},
  publisher = {Universita of California},
  year = {2007},
  pages = {--}
}

2006

Roubal, J. and Havlena, V. and Beneš, M., Base Vectors for Solving Partial Differential Equations, Proceedings of International Control Conference, (2006) , -, University of Strathclyde
BiBTeX
@INPROCEEDINGS{Roubal06:120,
  title = {{Base Vectors for Solving Partial Differential Equations}},
  author = {Roubal, J. and Havlena, V. and Bene{\v s}, M.},
  address = {Glasgow},
  booktitle = {{Proceedings of International Control Conference}},
  publisher = {University of Strathclyde},
  year = {2006},
  pages = {--}
}

2005

Beneš, M., Quantitative Aspects of Microstructure Formation in Solidification, EQUADIFF 11, International Conference on Differential Equations, (2005) , 5, Comenius University
BiBTeX
@INPROCEEDINGS{Benes05:1418,
  title = {{Quantitative Aspects of Microstructure Formation in Solidification}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  address = {Bratislava},
  booktitle = {{EQUADIFF 11, International Conference on Differential Equations}},
  publisher = {Comenius University},
  year = {2005},
  pages = {5}
}

1999

Beneš, M., Simulační model tuhnutí krystalických materiálů, TRANSFER 99, (1999) , 7-8, VUT v Brně
BiBTeX
@INPROCEEDINGS{Benes99:2397,
  title = {{Simula{\v c}n{\'\i} model tuhnut{\'\i} krystalick{\' y}ch materi{\' a}l{\r u}}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  address = {Brno},
  booktitle = {{TRANSFER 99}},
  publisher = {VUT v Brn{\v e}},
  year = {1999},
  pages = {7--8}
}

Ostatní publikace

2014

Beneš, M. and Strachota, P. and Mach, J., A Quasi-1D Two-Phase Model for Exhaust Pipe Flow with Condensation, 2014
BiBTeX
@TECHREPORT{Benes14:2150,
  title = {{A Quasi-1D Two-Phase Model for Exhaust Pipe Flow with Condensation}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Strachota, P. and Mach, J.},
  address = {Praha},
  institution = {Bosch, s s.r.o.},
  publisher = {{\v C}VUT, Fakulta jadern{\' a} a fyzik{\' a}ln{\v e} in{\v z}en{\' y}rsk{\' a}},
  year = {2014},
  number = {14-01},
  pages = {21}
}

2009

Beneš, M. and Tsujikawa, T. and Yazaki, S. (ed.), Proceedings of Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2008, (2009) , 79, Kyushu University
BiBTeX
@PROCEEDINGS{Benes09:1537,
  title = {{Proceedings of Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2008}},
  address = {Fukuoka},
  editor = {Bene{\v s}, M. and Tsujikawa, T. and Yazaki, S.},
  publisher = {Kyushu University},
  year = {2009},
  pages = {79}
}

2008

Beneš, M., Segmentation of MRI Data Using the Partial Differential Eequation of Allen-Cahn Type, 2008
BiBTeX
@UNPUBLISHED{Benes08:1526,
  title = {{Segmentation of MRI Data Using the Partial Differential Eequation of Allen-Cahn Type}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  year = {2008},
  note = {Unpublished Lecture}
}
Beneš, M., Quantitative Aspects of Microstructure Formation in Solidification, 2008
BiBTeX
@UNPUBLISHED{Benes08:1526,
  title = {{Quantitative Aspects of Microstructure Formation in Solidification}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  year = {2008},
  note = {Unpublished Lecture}
}
Beneš, M., Recent advances in mathematical modelling and numerical simulation technology and environment - Applications in Material Science, 2008
BiBTeX
@UNPUBLISHED{Benes08:1526,
  title = {{Recent advances in mathematical modelling and numerical simulation technology and environment - Applications in Material Science}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  year = {2008},
  note = {Unpublished Lecture}
}

2007

Beneš, M. and Kimura, M. and Nakaki, T. (ed.), Proceedings of Czech Japanese Seminar in Applied Mathematics 2006, (2007) , Kyushu University
BiBTeX
@PROCEEDINGS{Benes07:1381,
  title = {{Proceedings of Czech Japanese Seminar in Applied Mathematics 2006}},
  address = {Fukuoka},
  editor = {Bene{\v s}, M. and Kimura, M. and Nakaki, T.},
  publisher = {Kyushu University},
  year = {2007}
}

2006

Beneš, M. and Mikyška, J. and Oberhuber, T. and Bednařík, P., Quench Tank Internal Geometry Optimization, 2006
BiBTeX
@TECHREPORT{Benes06:1303,
  title = {{Quench Tank Internal Geometry Optimization}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Miky{\v s}ka, J. and Oberhuber, T. and Bedna{\v r}{\'\i}k, P.},
  address = {Prague},
  institution = {Caterpillar, Inc.},
  publisher = {Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering},
  year = {2006},
  number = {Inter},
  pages = {35}
}
Beneš, M. and Mikyška, J. and Oberhuber, T. and Bednařík, P., Quench Tank Internal Geometry Optimization II, 2006
BiBTeX
@TECHREPORT{Benes06:1418,
  title = {{Quench Tank Internal Geometry Optimization II}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Miky{\v s}ka, J. and Oberhuber, T. and Bedna{\v r}{\'\i}k, P.},
  address = {Prague},
  institution = {Caterpillar, Inc.},
  publisher = {Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering},
  year = {2006},
  number = {Inter},
  pages = {106}
}
Beneš, M. and Kimura, M. and Nakaki, T. (ed.), Proceedings of Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2005, (2006) , 157, Faculty of Mathematics, Kyushu University
BiBTeX
@PROCEEDINGS{Benes06:1258,
  title = {{Proceedings of Czech-Japanese Seminar in Applied Mathematics 2005}},
  address = {Fukuoka},
  editor = {Bene{\v s}, M. and Kimura, M. and Nakaki, T.},
  publisher = {Faculty of Mathematics, Kyushu University},
  year = {2006},
  pages = {157}
}
Beneš, M. and Mikyška, J. and Oberhuber, T., Quench Tank Internal Geometry Optimization - Addendum, 2006
BiBTeX
@TECHREPORT{Benes06:1418,
  title = {{Quench Tank Internal Geometry Optimization - Addendum}},
  author = {Bene{\v s}, M. and Miky{\v s}ka, J. and Oberhuber, T.},
  address = {Prague},
  institution = {Caterpillar, Inc.},
  publisher = {Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering},
  year = {2006},
  number = {Inter},
  pages = {25}
}

2005

Beneš, M. and Mikyška, J. and Oberhuber, T. (ed.), Proceedings of Czech - Japanese Seminar in Applied Mathematics 2004, (2005) , 206, ČVUT, Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská
BiBTeX
@PROCEEDINGS{Benes05:1081,
  title = {{Proceedings of Czech - Japanese Seminar in Applied Mathematics 2004}},
  address = {Praha},
  editor = {Bene{\v s}, M. and Miky{\v s}ka, J. and Oberhuber, T.},
  publisher = {{\v C}VUT, Fakulta jadern{\' a} a fyzik{\' a}ln{\v e} in{\v z}en{\' y}rsk{\' a}},
  year = {2005},
  pages = {206}
}

1999

Beneš, M., Time Discretisation in Solution of Systems of Semi-linear Parabolic PDEs Arising in Free-boundary Problems, 1999
BiBTeX
@UNPUBLISHED{Benes99:2398,
  title = {{Time Discretisation in Solution of Systems of Semi-linear Parabolic PDEs Arising in Free-boundary Problems}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  year = {1999},
  note = {Unpublished Lecture}
}
Šembera, J. and Beneš, M., Nonlinear Galerkin Method for Reaction-Diffusion Systems Admitting Invariant Regions, 1999
BiBTeX
@TECHREPORT{Sembera99:25,
  title = {{Nonlinear Galerkin Method for Reaction-Diffusion Systems Admitting Invariant Regions}},
  author = {{\v S}embera, J. and Bene{\v s}, M.},
  address = {Praha},
  institution = {{\v C}VUT FJFI},
  publisher = {{\v C}VUT, Fakulta jadern{\' a} a fyzik{\' a}ln{\v e} in{\v z}en{\' y}rsk{\' a}},
  year = {1999},
  number = {1},
  pages = {17}
}
Beneš, M., Numerická simulace dynamiky křivek v rovině, 1999
BiBTeX
@UNPUBLISHED{Benes99:2398,
  title = {{Numerick{\' a} simulace dynamiky k{\v r}ivek v rovin{\v e}}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  year = {1999},
  note = {Unpublished Lecture}
}
Beneš, M., Dynamika anisotropních křivek v rovině II, 1999
BiBTeX
@UNPUBLISHED{Benes99:2398,
  title = {{Dynamika anisotropn{\'\i}ch k{\v r}ivek v rovin{\v e} II}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  year = {1999},
  note = {Unpublished Lecture}
}
Beneš, M., Mathematical Analysis of Phase-field Equations with Numerically Efficient Coupling Terms, 1999
BiBTeX
@TECHREPORT{Benes99:2397,
  title = {{Mathematical Analysis of Phase-field Equations with Numerically Efficient Coupling Terms}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  address = {Praha},
  publisher = {{\v C}VUT, Fakulta jadern{\' a} a fyzik{\' a}ln{\v e} in{\v z}en{\' y}rsk{\' a}},
  year = {1999},
  number = {MMG 3},
  pages = {20}
}
Beneš, M., Dynamics of Curves in the Plane, 1999
BiBTeX
@UNPUBLISHED{Benes99:2398,
  title = {{Dynamics of Curves in the Plane}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  year = {1999},
  note = {Unpublished Lecture}
}
Beneš, M., Diffuse Interface Approach to the Solidification of Pure Materials, 1999
BiBTeX
@UNPUBLISHED{Benes99:2354,
  title = {{Diffuse Interface Approach to the Solidification of Pure Materials}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  year = {1999},
  note = {Unpublished Lecture}
}

1997

Beneš, M., Phase Field Model of Microstructure Growth in Solidification of Pure Substances, Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering, 1997
BiBTeX
@PHDTHESIS{Benes97:1559,
  title = {{Phase Field Model of Microstructure Growth in Solidification of Pure Substances}},
  author = {Bene{\v s}, M.},
  address = {Prague},
  year = {1997},
  pages = {95},
  school = {Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering}
}

Geometrické metody zpracování obrazu

školitel: prof. Dr. Ing. Michal Beneš
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM, II_SIMI
klíčová slova: filtrace šumu, segmentace, metody typu level set, degenerovaná difuze
odkaz: http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes/mb_ideas.html
popis: Obsahem tématu je vývoj pokročilých algoritmů realizujících vybrané úlohy zpracování obrazových dat (odstraňování šumu, detekce hran, obnovení a dokreslování obrazců, transformace a klasifikace obrazu), které využívají celou škálu vlastností procesů nelineární řízené difuze. Vyvíjené algoritmy mají svůj původ v numerickém řešení úloh nelineární difuze popsaných nelineárními parciálními diferenciálními rovnicemi degenerovaného parabolického typu. Budou navrhovány na základě posledních poznatků vývoje metod konečných prvků a konečných objemů.
literatura: V. Chalupecký, Image processing by means of partial differential equations of the Allen-Cahn type, diplomová práce, KM FJFI ČVUT v Praze, 2001 V. Minárik, Numerical solution of degenerate parabolic equations of the Hamilton-Jacobi type within the context of computer image and data processing, diplomová práce, KM FJFI ČVUT v Praze, 2002 Beneš M., Chalupecký V. and Mikula K., Geometrical Image Segmentation by the Allen-Cahn Equation, Applied Numerical Mathematics, Volume 51, Issue 2 2004, 187--205
naposledy změněno: 09.05.2016 22:16:07

Matematické modelování transportu radionuklidů

školitel: prof. Dr. Ing. Michal Beneš, Mgr. Aleš Vetešník, Ph.D. (KJCH) a doc. Mgr. Dušan Vopálka, CSc. (KJCH)
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM, MI_AMSM
klíčová slova: difuzní rovnice, metoda konečných objemů, vědecko-technické výpočty
odkaz: http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes
popis: Náplní tématu je řešení evolučních rovnic migrace radionuklidů v kontextu dlouhodobých úložišť jaderného odpadu v geologicky stabilním prostředí. Rovnice budou řešeny numericky, zejména v programovém prostředí GoldSim. Bude prováděna i citlivostní a neurčitostní analýza modelu. Teoretický základ tématu je dán problematikou dynamiky kontinua a matematickou analýzou parabolické parciální diferenciální rovnice, která obsahuje disperzní, advekční a interakční členy. Aplikace tématu je v oblasti modelování spojeném s plánováním dlouhodobých úložišť jaderného odpadu.Téma je motivováno výzkumem prováděným KJCH FJFI ve spolupráci se SÚRAO.
literatura: J. Crank, The Mathematics of Diffusion, Second edition, Oxford Press, 1976. K. Štamberg, Modelování migračních procesů v životním prostředí, Vydavatelství ČVUT, 1996. GoldSim Contaminant Transport Module, User\'s Guide. Version 6.4 (May 2014) GoldSim. A. Saltelli, K. Chan, E. M. Scott, Sensitivity Analysis, Wiley, 2008. A. Vetešník, J. Landa, A. Vokál a D. Vopálka, A sensitivity and probability analysis of the safety of deep geological repositories situated in crystalline rock, J RadioanalNuclChem, DOI 10.1007/s10967-014-3883-6
naposledy změněno: 20.04.2016 20:57:03

Matematický model fibrilace srdce

školitel: prof. Dr. Ing. Michal Beneš
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
klíčová slova: Spirálové vlny v excitovatelném prostředí; Fitzův-Hughův-Nagumovův systém rovnic
odkaz: http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes/mb_home.html
popis: Téma je zaměřeno na studium reakčně-difuzních rovnic popisujících šíření elektrického signálu v excitovatelném prostředí stěn srdečních komor. Heterogenity tototo prostředí způsobené poškozením stěn mohou způsobit vznik spirálových vln vedoucích k srdeční fibrilaci. Obsahem práce je prozkoumání matematických vlastností těchto rovnic, jejich numerické řešení v heterogenním prostředí a posouzení získaných výsledků v medicínckém kontextu. Motivací pro téma je spolupráce v oblasti cardio-MRI S IKEM Praha.
literatura: Murray J.D. Mathematical Biology, Springer Verlag, 2002 Chen Y.Y., Taguchi R. and Ninomiya H. Travelling Spots in Multidimensional Excitable Media, JEPE Vol 1, 2015, p. 281-305 Kodovský J. Dynamical systems of reaction diffusion equations, diplomová práce v oboru Matematické inženýrství, zaměření Matematické modelování, KM FJFI ČVUT 2006
naposledy změněno: 10.05.2016 10:24:16

Počítačové generování a analýza fraktálních množin

školitel: prof. Dr. Ing. Michal Beneš
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce
zaměření: II_PRAK
klíčová slova: Počítačová grafika, fraktální dimenze, multifraktály
odkaz: http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes/mb_home.html
popis: Téma je zaměřeno na metody počítačového zobrazování fraktálních a multifraktálních množin v rovině a prostoru pomocí moderních softwarových a hardwarových prostředků včetně paralelizace a použití grafických karet. Součástí práce je analýza množin a jejich charakterizace pomocí matematických nástrojů, např. fraktální dimenze. Výsledkem práce jsou algoritmy pro zobrazování množin včetně jejich detailů pomocí zvětšování a výpočetní výsledky poskytující odhad příslušných charakteristik těchto množin.
literatura: Peitgen H.-O. and Saupe D. (Eds.) The Science of Fractal Images Springer Verlag 1988 Šupina P. Visualization of fractal sets in multi-dimensional spaces, bakalářská práce v oboru Inženýrská informatika, zaměření Praktická informatika, KM FJFI ČVUT 2007 Bednařík P. Advanced methods of nonlinear dynamics and applications, diplomová práce v oboru Matematické inženýrství, zaměření Matematické modelování, KM FJFI ČVUT 2007
naposledy změněno: 10.05.2016 11:01:54

za obsah této stránky zodpovídá: Radek Fučík | naposledy změněno: 7.8.2011
Trojanova 13, 120 00 Praha 2, tel. 224 358 540, pevná linka 224 923 098, fax 234 358 643
České vysoké učení technické v Praze | Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská | Katedra matematiky