Variační metody pro učení se a kalibraci matematických modelů

advisor: Ing. Tomáš Oberhuber, Ph.D.
e-mail: show e-mail
type: phd thesis
branch of study: MI_MM
key words: variační metody, parciální diferenciální rovnice, strojové učení
description: Toto téma v sobě kombinuje oblasti strojového učení a matematického modelování pomocí parciálních diferenciálních rovnic. Podobně, jako se ve strojovém učení hledají vhodné parametry vah např. u neuronových sítí za pomocí algoritmu zpětné propagace, lze i do modelů založených na řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR) vložit řadu neznámých parametrů, které popisují jak použité diferenciální operátory a silové členy, tak i počáteční a okrajové podmínky. Volbou vhodné ztrátové funkce se pak můžeme pokoušet nastavit tyto parametry tak, aby výsledná PDR generovala požadovaná data. Tím vlastně získáme matematický model popisující např. naměřená experimentální data. Metody strojového učení nám tak mohou pomoci k lepšímu pochopení některých experimentálně naměřených jevů. Tento postup lze ale také využít na odvozování makroskopických modelů a výpočtů založených na modelech mikroskopických v situaci, kdy experimentální data nejsou dostupná. Zároveň lze tento přístup použít i pro řešení inverzní úlohy, tj. najít např. počáteční podmínku k určitému koncovému stavu. Obdobou algoritmu zpětné propagace je v tomto případě metoda pro odvození tzv. adjungované rovnice, která napočítá gradient vůči neznámým parametrům modelu. V rámci tohoto tématu se student bude zabývat právě odvozováním adjungovaných rovnic pro různé modely, jejich numerickým řešením a implementací výsledných numerických řešičů. Vše bude řešeno na pozadí úloh souvisejících se simulací proudění, porézním prostředím nebo zpracování dat z magnetické rezonance.
references: Charu C. Aggarval, Linear Algebra and Optimization Methods for Machine Learning, Springer, 2020. Fučík R., Klinkovský J., Solovský J., Oberhuber T., Mikyška J., Multidimensional Mixed-Hybrid Finite Element Method for Compositional Two-Phase Flow in Heterogeneous Porous Media and its Parallel Implementation on GPU, Computer Physics Communications, vol. 238, pp. 165-180. Bauer P., Klement V., Oberhuber T., Žabka V., Implementation of the Vanka-type multigrid solver for the finite element approximation of the Navier-Stokes equations on GPU, Computer Physics Communication, Vol.200, pp.50-56,2016. Oberhuber T., Numerical solution for the anisotropic Willmore flow of graphs, Applied Numerical Mathematics, Vol. 88, pp.1--17, 2015. Pevný, T.; Šmídl, V.; Trapp, M.; Poláček, O.; Oberhuber, T. Sum-Product-Transform Networks: Exploiting Symmetries using Invertible Transformations, In: Proceedings of the 10th International Conference on Probabilistic Graphical Models. Proceedings of Machine Learning Research, 2020. p. 341-352. vol. 138. Škardová K., Oberhuber T., Tintěra J., Chabiniok R., Signed-distance function based non-rigid registration of image series with varying image intensity, Discrete and Continuous Dynamical Systems S, vol. 14, no. 3, pp. 1145-1160, 2020.
last update: 10.05.2021 09:17:04

administrator for this page: Ľubomíra Dvořáková | last update: 09/12/2011
Trojanova 13, 120 00 Praha 2, tel. 224 358 540, pevná linka 224 923 098, fax 234 358 643
Czech Technical Univeristy in Prague | Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering | Department of Mathematics