Ing. František Štampach, Ph.D.
| e-mail: | zobrazit e-mail |
| telefon: | +420 770 127 410 |
| místnost: | 10c |
| www: | http://stampach.xyz/ |
Řešitelné modely speciálních Jacobiho matic a ortogonální polynomy
| školitel: | Ing. František Štampach, Ph.D. |
| e-mail: | zobrazit e-mail |
| typ práce: | dizertační práce |
| zaměření: | MI_MM |
| klíčová slova: | ortogonální polynomy, Jacobiho operátor, Heunova rovnice, Jacobiho eliptické funkce |
| popis: | Projekt je zaměřen na studium spektrální úlohy pro speciální Jacobiho operátory a důsledky pro odpovídající rodiny ortogonálních polynomů. V první řadě půjde o Jacobiho operátory asociované s Heunovou diferenciální rovnicí. Speciální řešení Heunovy diferenciální rovnice, tzv. řešení nulté úrovně, představují generující funkce čtyř dobře známých rodin Stieltjesových--Carlitzových polynomů a umožňují jejich spektrální analýzu pomocí eliptických funkcí [2,6]. Také řešení vyšších úrovní Heunovy diferenciální rovnice lze vyjádřit pomocí eliptických funkcí [7]. Cílem projektu bude studium nových rodin ortogonálních polynomů asociovaných s Heunovými řešeními vyšších úrovní, zejména jejich asymptotická analýza a výzkum spektrálních vlastností odpovídajících Jacobiho operátorů. K dosažení cílů projektu student nastuduje vybrané asymptotické metody z monografie [5], komplexní analýzu eliptických funkcí [4] a obecnou teorii ortogonálních polynomů, Jacobi operátorů a jejich souvislostí [1,3]. |
| literatura: | [1] N.I. Akhiezer, The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, Oliver & Boyd, Edinburgh, 1965.
[2] L. Carlitz, Some orthogonal polynomials related to elliptic functions, Duke Math. J. 27 (1960), 443-459. [3] M.E.H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 98, Cambridge University Press, Cambridge, 2005. [4] D.F. Lawden, Elliptic Functions and Applications, Applied Mathematical Sciences, vol. 80, Springer-Verlag, New York, 1989. [5] F. W. J. Olver, Asymptotics and special functions, A. K. Peters Ltd., Wellesley, 1997. [6] F. Štampach, P. Šťovíček, New explicitly diagonalizable Hankel matrices related to the Stieltjes-Carlitz polynomials, Integr. Equ. Oper. Theory 93 (2021) 1-39. [7] G. Valent, Heun functions versus elliptic functions, In Difference equations, special functions and orthogonal polynomials. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, pp. 664–686. |
| naposledy změněno: | 17.05.2022 16:15:01 |
Rámcová témata pro bakalářské a diplomové práce
| školitel: | Ing. František Štampach, Ph.D. |
| e-mail: | zobrazit e-mail |
| typ práce: | bakalářská práce, diplomová práce |
| zaměření: | MI_MM |
| klíčová slova: | spektrální analýza, teorie operátorů |
| přiložený soubor: | 
pdf
|
| popis: | Nabízím témata pro závěrečné studentské práce z oblastí vyjmenovaných v přiloženém pdf. |
| naposledy změněno: | 27.04.2023 15:27:04 |
Spektrální analýza strukturovaných matic s komplexní poruchou
| školitel: | Ing. František Štampach, Ph.D. |
| e-mail: | zobrazit e-mail |
| typ práce: | dizertační práce |
| zaměření: | MI_MM |
| klíčová slova: | spektrum, strukturavané matice, Laurentovy matice, Jacobiho matice, komplexní porucha |
| popis: | Projekt je zaměřen na studium spektrálních vlastností operátorů na Hilbertových prostorech nekonečné dimenze, které lze reprezentovat nekonečnou maticí s dodatečnou strukturou a komplexní poruchou jistého typu respektující strukturu operátoru. Mezi hlavní analytické úkoly projektu patří přibližná lokalizace spektra, vyloučení, nebo důkaz existence vlastních hodnot vložených v esenciálním spektru, asymptotická analýza diskrétních vlastních hodnot (tzv. analýza slabých vazeb), spektrální stabilita a teorie kritikality pro operátory ze studovaných tříd. Studií na tato témata již existuje poměrně hodně. Část z nich je zaměřena na specifické operátory, které představují diskrétní varianty operátorů matematické fyziky jako např. diskrétní Schrödingerovy [IS, KLS], Diracovy [CIKS], nebo polyharmonické operátory [CR, GKS]. Z matematického pohledu jsou tyto operátory reprezentovány speciálními Laurentovými, Toeplitzovými, nebo Jacobiho maticemi. Cílem tohoto projektu je více koncepční analýza zaměřená na obecné operátory z těchto či příbuzných operátorových tříd. Předpokládané použité metody budou kombinovat specifické aspekty teorií operátorů dané struktury [B, GGK], poruchovou teorii [K] a speciálnější metody používané v analýze nesamosdružených operátorů [IS, BIKS, GKS, KLS]. |
| literatura: | [CIKS] B. Cassano, O. O. Ibrogimov, D. Krejčiřík, F. Štampach, Location of eigenvalues of non-self-adjoint discrete Dirac operators, Ann. Henri Poincaré 21 (2020).
[CR] Ó. Ciaurri, Ó., L. Roncal, Hardy’s inequality for the fractional powers of a discrete Laplacian. J. Anal. 26 (2018). [GGK] I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek, Basic classes of linear operators, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003. [GKS] B. Gerhat, D. Krejčiřík, F. Štampach, Criticality transition for positive powers of the discrete Laplacian on the half line, preprint (2024), arXiv:2307.09919. [IS] O. O. Ibrogimov, F. Štampach, Spectral enclosures for non-self-adjoint discrete Schrödinger operators, Integr. Equ. Oper. Theory 91 (2019). [K] T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin, 1995. [KLS] D. Krejčiřík, A. Laptev, F. Štampach, Spectral enclosures and stability for non-self-adjoint discrete Schrödinger operators on the half-line, Bull. London Math. Soc. 54 (2022). [S] B. Simon, Szegö’s Theorem and Its Descendants: Spectral Theory for L2 Perturbations of Orthogonal Polynomials, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011. |
| naposledy změněno: | 22.04.2024 16:16:38 |
Databáze V3S
Aplikace V3S eviduje výsledky vědy a výzkumu a další aktivity vědecko-výzkumných pracovníků ve vědecké komunitě. Aplikace V3S slouží k odesílání výsledků do RIV, exportům pro statistické analýzy i k interním hodnocením vědecko-výzkumné činnosti.
Seznam publikaci ve V3S
za obsah této stránky zodpovídá:
Radek Fučík | naposledy změněno: 7.8.2011