doc. Ing. Matěj Tušek, Ph.D.
Řešitelné modely grafenu
| školitel: |
Ing. Matěj Tušek, Ph.D. |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| klíčová slova: |
parciální diferenciální rovnice, spektrální analýza, grafen, Diracův operátor |
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Dvourozměrná forma uhlíku, grafen, je horkým kandidátem na stavební materiál elektronických zařízení budoucnosti. V posledních letech je tudíž velice intenzivně zkoumána závislost jeho vodivostních a dalších vlastností na vnějších potenciálech, geometrii či vnitřním pnutí. Motivováni těmito výsledky budeme studovat vybrané matematické modely, které budou velkou měrou řešitelné analytickými metodami.
V jazyce matematiky nás budou zajímat zejména spektrální vlastnosti jistého maticového diferenciálního, konkrétně Diracova, operátoru. Již samotné rigorózní zavední Diracova operátoru nabízí atraktivní možnosti, neboť jeho různé samosdružené realizace, tj. vhodné volby definičního oboru, odpovídají různým fyzikálním situacím. Lze tak získat například relativistickou variantu 4delta$ či $\delta'$-interakce podél křivky. Tu je poté možno aproximovat pomocí regulárních potenciálů. |
| poznámka: |
Téma bude vypracováno ve spolupráci s Dr. Vladimrem Lotoreichikem (ÚJF AV ČR). |
| naposledy změněno: |
02.03.2018 10:50:37 |
Relativistické kvantové grafy
| školitel: |
Ing. Matěj Tušek, Ph.D. |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
dizertační práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| klíčová slova: |
Diracův operátor, kvantový graf, spektrální analýza, singulární interakce |
| popis: |
Kvantovým grafem se rozumí metrický graf, na jehož hranách působí Schrödingerův operátor, přičemž přechodové podmínky v jeho vrcholech jsou zvoleny tak, aby výsledný operátor byl samosdružený. Jedná se o velice úspěšný model kvantové mechaniky, který prvně zavedl Linus Pauling při studiu elektronů v organických molekulách. S rozvojem přípravy grafenu a dalších diracovských materiálů se nyní opět dostává do centra pozornosti Diracův operátor v nejrůznějších modifikacích. Podobně zažívá rozkvět tzv. kvazihermitovská kvantová mechanika, která opouští dogma samosdružených pozorovatelných. Nabízí se tedy studovat obecně nesamosdružený Diracův operátor na metrickém grafu.
Kvantový graf lze zavést i alternativním způsobem, kdy se metrický graf vloží do Eukleidovského prostoru a jako operátor se uvažuje Schrödingerův či Diracův operátor na tomto prostoru se singulární interakcí, jejímž nosičem je právě samotný graf. V relativistickém případě není zcela uzavřena ani otázka samotného zavedení takového operátoru. |
| literatura: |
1) G. Berkolaiko, P. Kuchment: Introduction to Quantum Graphs, American Mathematical Soc., 2013.
2) A. Hussein, D. Krejčiřík, P. Siegl: Non-self-adjoint graphs. Trans. Amer. Math. Soc. 367(2015).
3) J. Behrndt, S. Hassi, H. de Snoo: Boundary Value Problems, Weyl Functions, and Differential Operators. Monographs in Mathematics, Springer, 2020.
4) B. Cassano, V. Lotoreichik, A. Mas, M. Tušek: General delta-shell interactions for the two-dimensional Dirac operator: self-adjointness and approximation. to appear in Revista Matemática Iberoamericana, arXiv:2102.09988. |
| naposledy změněno: |
11.05.2022 14:08:58 |
Diracovské vlnovody
| školitel: |
Ing. Matěj Tušek, Ph.D. |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
dizertační práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| klíčová slova: |
Diracův operátor, kvantové vlnovody, magnetická pole, delta-shell interakce |
| popis: |
S nedávným pokrokem v přípravě grafenu a dalších tzv. diracovských materiálů se v posledních letech objevila předlouhá řada fyzikálních článků pojednávajících o dvourozměrném Diracově operátoru s magnetickou bariérou, podél níž lze očekávat transport kvazičástic. Podobné vlastnosti vykazují i modely, kde je magnetická barierá nahrazena hranou (tj. Diracův operátor neuvažujeme v celé rovině) či singulární interakcí (konkrétně ve tvaru jednoduché vrstvy), jejímž nosičem je rovinná křivka. Cílem navrhované práce je matematicky rigorózní studium spektrálních a transportních vlastností těchto a podobných systémů. Zdůrazněme, že již samotné zavedení samosdružených realizací příslušných operátorů představuje netriviální problém. Předmětem studia a výzkumu budou i Diracovy operátory na zakřivené nadploše. |
| literatura: |
1) R. D. Benguria, S. Fournais, E. Stockmeyer, H. Van Den Bosch: Self-adjointness of two-
dimensional Dirac operators on domains. Annales Henri Poincaré 18 (2017).
2) W. Borrelli, P. Briet, D. Krejčiřík, T. Ourmières-Bonafos: Spectral properties of relativistic
quantum waveguides. publikováno online v Annales Henri Poincaré (2022).
3) P. Exner, M. Holzamann: Dirac operator spectrum in tubes and layers with a zigzag type boundary. preprint na https://arxiv.org/abs/2112.08109
4) M. Fialová, V. Jakubský, M. Tušek: Qualitative analysis of magnetic waveguides for two-dimensional Dirac fermions. Annals of Physics 395 (2018).
5) B. Cassano, V. Lotoreichik, A. Mas, M. Tušek: General δ-shell interactions for the two-dimensional Dirac operator: self-adjointness and approximation. přijato v Revista Matemática Iberoamericana, arXiv:2102.09988. |
| naposledy změněno: |
11.05.2022 15:13:33 |
Databáze V3S
Aplikace V3S eviduje výsledky vědy a výzkumu a další aktivity vědecko-výzkumných pracovníků ve vědecké komunitě. Aplikace V3S slouží k odesílání výsledků do RIV, exportům pro statistické analýzy i k interním hodnocením vědecko-výzkumné činnosti.
Seznam publikaci ve V3S
za obsah této stránky zodpovídá:
Radek Fučík | naposledy změněno: 7.8.2011
pdf