Numerické metody pro parametrické zobecněné rovnice
| školitel: | RNDr. Tomáš Roubal, PhD. |
| e-mail: | zobrazit e-mail |
| typ práce: | bakalářská práce, diplomová práce |
| zaměření: | MI_MM, MINF |
| klíčová slova: | Zobecněné rovnice, Nelineární optimalizace, Josephy-Newton metoda, Semismooth* metoda, Path-following |
| popis: | Hlavní výzvou při řešení nelineárních optimalizačních úloh je efektivní zvládnutí nehladkosti a silné nelinearity, které se často vyskytují v praktických aplikacích. Dvě významné numerické metody, které se touto problematikou zabývají, jsou Josephy-Newton metoda a Semismooth* metoda. Obě metody lze využít k sledování trajektorií řešení (path-following) v různých typech optimalizačních úloh nebo zobecněných rovnicích, které zahrnují operátory s možnou mnohoznačností, tj. operátory, které nemají jednoznačně definované hodnoty pro všechny vstupní parametry. Každá z těchto metod nabízí specifické přístupy k řešení problémů spojených s nehladkostí a nelinearitou.
Josephy-Newton metoda pro path-following využívá koncept zobecněných rovnic, kde se aproximuje pouze jednoznačná část rovnice. Tato metoda je založena na vytváření Newtonových kroků, které umožňují přesné sledování trajektorií řešení za předpokladu dostatečné hladkosti jednoznačné části a regularity operátorů. Semismooth* metoda je obecně navržena pro řešení úloh, kde se vyskytují mnohoznačné operátory. Tato metoda pracuje s konceptem Semismooth* operátorů, což je podmnožina mnohoznačných operátorů, které umožňují aplikaci Newtonovských technik. Mechanismy konvergence a efektivity těchto metod lze zkoumat pomocí numerických simulací, které využívají metody konečných diferencí, konečných prvků nebo konečných objemů k řešení parciálních diferenciálních rovnic popisujících například optimalizační úlohy. Toto téma je vhodné pro studenty vyšších ročníků, kteří se chtějí seznámit s pokročilými technikami numerického modelování a řešení složitých optimalizačních úloh v přítomnosti mnohoznačných operátorů. Cíle práce: 1. Nastudování Josephy-Newton a Semismooth* metod a nástrojů Variační analýzy. 2. Provedení numerických simulací na úlohy v mechanice, elektrických obvodech apod. 3. Zhodnocení a srovnání konvergence a efektivity numerických metod. |
| literatura: | [1] Dontchev, A. L., Krastanov, M. I., Rockafellar, R. T., and Veliov, V. An Euler-Newton continuation method for tracking solution trajectories of parametric variational inequalities. SIAM J. Control Optim. 51, 3 (2013), 1823-1840.
[2] Cibulka, R., and Roubal, T. Solution stability and path-following for a class of generalized equations. In Control systems and mathematical methods in economics, vol. 687 of Lecture Notes in Econom. and Math. Systems. Springer, Cham, 2018, pp. 57-80. [3] Gfrerer, H., and Outrata, J. On a semismooth* Newton method for solving generalized equations. SIAM J. Optim. 31, 1 (2021), 489-517. |
| naposledy změněno: | 04.09.2024 22:46:55 |
za obsah této stránky zodpovídá:
Ľubomíra Dvořáková | naposledy změněno: 12.9.2011