prof. Mgr. David Krejčiřík, Ph.D. DSc.
Quantum mechanics with non-self-adjoint operators
Operator theoretic approach to the theory of metamaterials
| školitel: |
Mgr. David Krejčiřík, Ph.D. DSc. |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
dizertační práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| přiložený soubor: |
pdf
|
| naposledy změněno: |
22.12.2016 15:21:12 |
Metamateriály a fyzikální realizace neviditelnosti
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Záporná permitivita? Záporná permeabilita? Záporný index lomu a s tím související neviditelnost? Od přelomu milénia už ne pouhá fikce, avšak fyzikální realita uměle vyráběných kompozitních materiálů. Matematické modely vedou k nestandardním spketrálně-teoretickým úlohám (nesamosdruženost, neeliptičnost), jejichž vyšetřením bychom se chtěli zabývat. |
| poznámka: |
Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je uplatnění méně známých nastrojů operátorové teorie. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:48:04 |
Kvantová mechanika s nehermitovskými operátory
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Koncept kvantové mechaniky je dobře chápán mimojiné díky existenci spektrálního rozkladu pro samosdružené operátory: každý takovýto operátor lze diagonalizovat a jeho spektrum je čistě reálné. V poslední době však došlo k nevídanému zájmu o teorie s nehermitovskými operátory, a to především díky pozorování, že existuje obrovská třída operátorů, jejichž spektrum je reálné (tedy v principu měřitelné) jako důsledek jistých (fyzikálních) symetrií namísto (matematické) samosdruženosti. Předmětem úkolu je formulace a řešení takovýchto spektrálních úloh při absenci standardního spektrálního rozkladu. |
| poznámka: |
Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je uplatnění méně známých nastrojů operátorové teorie. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:47:06 |
Geometrický variační problém při digitálním zpracování obrazu
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Účinnou metodou k odstraňování šumu digitálních obrazových dat je pomocí tzv. ROF schématu, kdy se minimalizuje totální variace získaného signálu. Matematicky to vede k zajímavému geometrickému variačnímu problému, kdy se minimalizuje poměr obvodu vůči obsahu v třídě všech množin uzavřených v dané dvojrozměrné oblasti.
Stejný problém a jeho zobecnění do vyšších dimenzí nachází uplatnění v dalších matematicko-fyzikálních oblastech (kolaps elastické membrány pod tlakem, získání trojrozměrného obrazu z fotografie, tvoření bublin, nelineární diferenciální počet, etc.). Úkolem studenta bude detailní nastudování matematické problematiky a bibliografická rešerše, v pozdější fázi odvození nových výsledků pro trubicové oblasti. |
| poznámka: |
Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fysikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýsy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je významný vliv geometrie na fyzikální vlastnosti, a zahrnuje tak navíc uplatnění základních znalostí z diferenciální geometrie a variačního počtu. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:47:31 |
Matematické modely nanostruktur
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| popis: |
V nedávné době došlo k nevídaným možnostem miniaturizace polovodičových součástek, jejichž uplatnění se očekává v nových generacích počítačů, jakožto i k vyvinutí nových materiálů typu grafen aspol. Z matematického hlediska se jedná o zajímavé problémy, jež kombinují úlohy parciálních diferenciálních rovnic nerelativistické i relativistické kvantové mechaniky a diferenciální geometrie. Předmětem úkolu je zkoumání spektrálních vlastností rozličných fyzikálních modelů v závislosti na geometrii. |
| poznámka: |
Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je významný vliv geometrie na fyzikální vlastnosti, a zahrnuje tak navíc uplatnění základních znalostí z diferenciální geometrie. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:47:42 |
Stochastický cestovatel na varietách
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| popis: |
Pravděpodobně nejjednodušším modelem, na kterém lze demonstrovat vliv křivosti na pohyb Brownovy částice, je realizace tohoto stochastického procesu na dvoudimenzionální Riemannově varietě. Matematicky se jedná o studium vlastností řešení rovnice vedení tepla na takovýchto geometricky netriviálních oblastech, což bude předmětem úkolu. |
| poznámka: |
Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je významný vliv geometrie na fyzikální vlastnosti, a zahrnuje tak navíc uplatnění základních znalostí z diferenciální geometrie a parciálních diferenciálních rovnic. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:47:57 |
Spektrální geometrie: trable královny Dídó a nové výzvy
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Kruh má mezi všemi rovinnými útvary o daném obsahu nejmenší obvod [Dídó 900 BC]. Co se stane, pokud geometrickou kvantitu obvodu zaměníme jinou, tentokrát fyzikální charakteristikou? Pak například dobře známou analogií je fakt, že vibrující kruhová membrána s pevně uchycenými konci vydává nejnižší zakládní tón [Faber-Krahn AD 1923-4]. V nedávných letech došlo k neočekávanému pozorování, k němuž přispěl i sám školitel [AD 2015], že pro odlišné (i když stále homogenní) hraniční podmínky kruh přestane být optimální geometrií. Jaká oblast optimalizuje odpovídající fyzikální problém? To je v současné době velkou neznámou a úkolem studenta bude se seznámit s těmito typy spektrálně-geometrických úloh moderní matematiky a přispět k porozumění vyšetřením dílčích problémů analyticky či numericky (podle vkusu). |
| literatura: |
P. Freitas and D. Krejcirik, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter, Adv. Math. 280 (2015), 322-339. |
| poznámka: |
Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je významný vliv geometrie na fyzikální vlastnosti, a zahrnuje tak navíc uplatnění základních znalostí z diferenciální geometrie. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:48:12 |
Quantum mechanics with non-self-adjoint operators: transition from spectra to pseudospectra
Large-time behaviour of evolution systems
Imaginární magnetické pole a černé díry
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Magnetické pole je samo o sobě zajímavým konceptem v kvantové mechanice
a vede k fyzikálním efektům, jež nemají klasickou analogii.
Matematicky se jedná o neskalární poruchu parciální
diferenciální rovnice, již lze elegantně popsat formalismem
diferenciálních forem na varietách.
Překvapením posledních let je navíc relevance
magnetických polí s nenulovou imaginární složkou
v matematickém popisu kvantové mechaniky,
jakož i jejich experimentální realizace
v kvantové statistické fyzice.
Na druhé straně moderní fyziky se imaginární magnetické pole
vyskytuje v relativistickém popisu stability rotujících černých děr.
Úkolem studenta bude pochopení této formální matematické analogie mezi
kvantovým pohybem nabitých mikročástic
a prostoročasovým působením gravitace makrohmoty.
Podle vkusu dále řešení různých teoretických
(zvláště pak spektrálních)
úloh s komplexními magnetickými poli. |
| literatura: |
D. Krejčiřík, Complex magnetic fields:
An improved Hardy-Laptev-Weidl inequality and quasi self-adjointness, SIAM J. Math. Anal. 51 (2019) 790--807. |
| poznámka: |
Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je uplatnění méně známých nastrojů operátorové teorie. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:48:25 |
Optimalita včelí plástve a související problémy
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce
|
| zaměření: |
MI_MM, MI_AMSM, MINF, APIN |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Proč včely stavějí plástve z pravidelných šestiúhelníků
a proč to není vždy pravda?
Lze univerzální optimalitu hexagonu pozorovat
i u jiných živočišných druhů a jinde v přírodě?
Jaká je matematika za tím vším?
Jak to souvisí se spektrální teorií?
Úkolem studenta bude zodpovězení výše položených otázek
na základě studia rozličné literatury a vlastních výpočtů.
Bakalářskou práci lze chápat jako úvod do fascinující
teorie spektrální geometrie a v tématu případně pokračovat
i v navazujícím magisterském studiu.
(V případě preference studenta na programovací úlohy
lze práci potenciálně zaměřit na numerické aspekty problému.) |
| literatura: |
[1] D. Bucur and I.Fragalà, Proof of the honeycomb asymptotics for optimal Cheeger clusters, Adv. Math. 350 (2019) 97-129.
[2] P. Freitas and D. Krejčiřík, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter, Adv. Math. 280 (2015), 322-339.
[3] T. C.Hales, The Honeycomb Conjecture, Discr. Comput. Geom. 25 (2001) 1-22. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:48:32 |
Matematické výzvy hybridních materiálů
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM, MI_AMSM, MINF, APIN |
| odkaz: |
http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
|
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Tradiční materiály typu vodiče či polovodiče
se posledních sto let úspěšně popisují matematikou
nerelativistické kvantové mechaniky.
Umělé materiály typu grafenu už vyžadují
formalismus relativistické kvantové mechaniky
a k jejich rigoróznímu výzkumu dochází
teprve v tomto tisíciletí.
S jakou hrůzou pak zjišťujeme, že současní fyzici
v laboratoři experimentují s hybridními materiály,
jež se v jednom směru chovají jako vodič, polovodič či polokov,
zatímco v druhém jako grafen.
Úkolem studenta bude kromě seznámení se se
základní fyzikou těchto hybridních materiálů
jejich matematický popis skrze rigorózní
spektrální teorii nekonvenčních
maticově-diferenciálních operátorů
a jejich elektromagnetických či geometrických poruch. |
| literatura: |
D. Krejčiřík and P. Antunes, Bound states in semi-Dirac semi-metals, Phys. Lett. A 386 (2021) 126991. |
| poznámka: |
Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je uplatnění méně známých nastrojů operátorové teorie. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:48:46 |
Spektrální analýza strunných nástrojů či relativistických elektronů
| školitel: |
David Krejčiřík |
| e-mail: |
zobrazit e-mail
|
| typ práce: |
bakalářská práce, diplomová práce
|
| zaměření: |
MI_MM |
| přiložený soubor: |
pdf
|
| popis: |
Strunné nástroje lze v prvním přiblížení modelovat jednodimenzionální vlnovou rovnicí, což vede na spektrální úlohu pro maticově-diferenciální operátor. Se stejným typem operátorů se setkáváme v relativistické kvantové mechanice.
Úkolem studenta bude seznámení se s tímto matematickým modelem
a na základě známých a později vlastních spektrálních výsledků interpretovat
fyzikální vlastnosti hudebních nástrojů
(či relativistických kvantových systémů).
Hlavní výzvou je vysvětlení mechanismu flažoletových tónů
pomocí detailní spektrální analýzy,
jež v současné literatuře chybí. |
| naposledy změněno: |
13.04.2022 14:48:52 |
Analytic and geometric aspects of the Dirac equation
Databáze V3S
Aplikace V3S eviduje výsledky vědy a výzkumu a další aktivity vědecko-výzkumných pracovníků ve vědecké komunitě. Aplikace V3S slouží k odesílání výsledků do RIV, exportům pro statistické analýzy i k interním hodnocením vědecko-výzkumné činnosti.
Seznam publikaci ve V3S
za obsah této stránky zodpovídá:
Radek Fučík | naposledy změněno: 7.8.2011
pdf