doc. Mgr. David Krejčiřík, Ph.D. DSc.

David Krejčiřík - fotografie
e-mail: zobrazit e-mail
telefon: +420 22435 8558
místnost: 09a
www: http://people.fjfi.cvut.cz/krejcirik
instituce: UJF, AVČR a FJFI, ČVUT
adresa: Řež 130, 250 68 Česká Republika
 
rozvrh
předmět kód vyučující zs ls zs kr. ls kr.
Matematika 3, 401MAT34 Dvořáková, Krejčiřík, Tušek 2+2 z,zk 2+2 z,zk 4 4
Předmět:Matematika 301MAT3doc. Mgr. Krejčiřík David DSc.2+2 Z,ZK-4-
Anotace:Předmět shrnuje nejdůležitější pojmy a věty spojené se studiem konečně dimenzionálních vektorových prostorů.
Osnova:1. Vektorové prostory;
2. Lineární obal a nezávislost;
3. Báze a dimenze;
4. Lineární zobrazení;
5. Operátorové rovnice;
6. Skalární součin a ortogonalita;
7. Lineární funkcionály a sdružení;
8. Matice;
9. Determinanty;
10. Spektrum;
11. Exponenciála matice;
12. Kvadratické formy.
Osnova cvičení:0. Komplexní čísla;
1. Příklady vektorových prostorů a podprostorů;
2. Lineární závislost vektorů - úlohy s parametrem;
3. Výběr báze ze souboru generátorů, doplnění na bázi;
4. Injektivita a jádro lineárního zobrazení;
5. Příklady skalárních součinů a ortogonalizační proces;
6. Příklady lineárních funkcionálů a konstrukce sdružených zobrazení;
7. Operace s maticemi a konstrukce matice zobrazení;
8. Práce s determinanty, výpočet inverzní matice;
9. Vlastní čísla a vlastní vektory matic;
10. Konstrukce exponenciály matice;
11. Vlastnosti kvadratických forem;
Cíle:Znalosti:
Osvojení základních pojmů lineární algebry nezbytných pro správné pochopení navazujících předmětů, jako je analýza funkcí více proměnných, numerická matematika a pod.

Schopnosti:
Umět v navazujících předmětem využívat nastudované pojmy a věty.
Požadavky:Základní středoškolská matematika.
Rozsah práce:
Kličová slova:Vektorový prostor, podprostor, lineární závislost, báze, dimenze, lineární zobrazení, matice, determinant, stopa, ortogonalita, spektrum, vlastní číslo, vlastní vektor, kvadratická forma, exponenciála matice.
Literatura:Klíčová literatura:
[1] S. Axler: Linear algebra done right, Springer, New York 2014

Doporučená literatura:
[2] J. Kopáček, Matematika pro fyziky II, UK, Praha, 1989.
[3] Text přednášky na webových stránkách přednášejícího.

Předmět:Matematika 401MAT4Ing. Tušek Matěj Ph.D.-2+2 Z,ZK-4
Anotace:Lineární a nelineární diferenciální rovnice prvního řádu. Lineární rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty. Diferenciální a integrální počet funkce více proměnných a jeho aplikace.
Osnova:1. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu
2. Nelineární diferenciální rovnice prvního řádu
3. Exaktní a homogenní diferenciální rovnice
4. Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů
5. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty
6. Kvadratické formy
7. Limita a spojitost funkcí více proměnných
8. Diferenciální počet funkcí více proměnných
9. Totální diferenciál
10. Funkce zadané implicitně
11. Záměna proměnných
12. Extrémy funkcí více proměnných
13. Riemannův integrál funkce více proměnných
14. Fubiniova věta a věta o substituci
Osnova cvičení:1. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu
2. Nelineární diferenciální rovnice prvního řádu
3. Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů
4. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty
5. Limita a spojitost funkcí více proměnných
6. Funkce zadané implicitně
7. Extrémy funkcí více proměnných
8. Riemannův integrál funkce více proměnných
9. Fubiniova věta a věta o substituci.
Cíle:Znalosti:
Osvojit si řešení elementárních typů diferenciálních rovnic s důrazem na rovnice lineární. Seznámit se s diferenciálním počtem funkce více proměnných.

Schopnosti:
Naučit se nové poznatky aplikovat na konkrétní problémy inženýrské praxe.
Požadavky:Úspěšné složení zkoušek z předmětů 01MAT1, 01MAT2, 01MAT3 na FJFI, ČVUT v Praze.
Rozsah práce:
Kličová slova:Diferenciální rovnice, diferenciální počet funkce více proměnných.
Literatura:Povinná literatura:
[1] E. Dontová: Matematika IV, ČVUT, Praha, 1996.
[2] M. Krbálek: Funkce více proměnných, ČVUT, Praha, 2017.
[3] J. Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky II, Matfyzpress MFF UK, Praha, 2003.
[4] J. Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky III, Matfyzpress MFF UK, Praha, 2003.

Doporučená literatura:
[4] J. Kopáček: Matematická analýza pro fyziky II, Matfyzpress MFF UK, Praha, 1998.
[5] J. Kopáček: Matematická analýza pro fyziky III, Matfyzpress MFF UK, Praha, 1999.

Geometrické aspekty spektrální teorie01SPEC Krejčiřík - - 2+0 zk - 2
Předmět:Geometrické aspekty spektrální teorie01SPEC----
Anotace:1. Motivace. Krize klasické fyziky a nástup kvantové mechaniky. Matematická formulace kvantové teorie. Spektrální problémy v klasické fyzice.
2. Elementy funkcionální analýzy. Diskrétní a esenciální spektra. Sobolevovy prostory. Kvadratické formy. Schrödingerovy operátory.
3. Stabilita esenciálního spektra. Weylův teorém. Vázané stavy. Variační a poruchové metody.
4. Role dimenze euklidovského prostoru. Kritikalita versus subkritikalita. Hardyho nerovnost. Stabilita hmoty.
5. Geometrické aspekty. Glazmanova klasifikace eukleidovských oblastí a jejich základní spektrální vlastnosti.
6. Vibrační systémy. Symetrické přerovnání a Faber-Krahnova nerovnost pro základní frekvenci.
7. Kvantové vlnovody. Elementy diferenciální geometrie: křivky, plochy, variety. Efektivní dynamika.
8. Geometrií indukované vázané stavy a Hardyho nerovnosti v trubicích.
Osnova:
Osnova cvičení:
Cíle:Znalosti: Cílem přednášky je seznámit studenty se spektrálními metodami v teorii lineárních diferenciálních operátorů pocházejících jak z klasické, tak moderní fyziky, se speciálním důrazem na geometrií indukované spektrální vlastnosti.

Schopnosti: Zvládnutí pokročilých metod spektrální teorie samosdružených operátorů; variační techniky, parciální diferenciální rovnice, geometrická analýza, Sobolevovy prostory.
Požadavky:
Rozsah práce:Od studentů se očekávají základní znalosti rovnic matematické fyziky a funkcionální analýzy. Zkouška bude probíhat písemnou a ústní formou.
Kličová slova:Schrödingerovy operátory; Hardyho nerovnost; Efektivní dynamika
Literatura:Povinná literatura:
[1] B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge University Press, 1995.
[2] A. Henrot, Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser, Basel, 2006.
[3] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, I?IV, Academic Press, New York, 1972?1978.
Doporučená literatura:
[1] W. O. Amrein, A. Boutet de Monvel and V. Georgescu, C0 -groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians, Progress in Math. Ser., vol. 135, Birkhäuser, 1996.
[2] D. E. Edmunds and W. D. Evans, Spectral theory and differential operators, Oxford University Press, 1987.
[3] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Amer. Math. Soc., 2010.

Úvod do riemannovské geometrie01URG Krejčiřík 2+0 zk - - 2 -
Předmět:Úvod do riemannovské geometrie01URG----
Anotace:Tato přednáška je určena pro studenty s pokročilejšími znalostmi, kteří již absolvovali základní kurz o topologických a diferenciálních varietách. Kromě pochopení geometrického významu křivosti a jejího blízkého vztah k topologii si student osvojí základní aparát Riemannovy geometrie, jenž se mu bude hodit k dalšímu studiu moderních partií matematiky a matematické fyziky. Geometrická analýza parciálních diferenciálních rovnic na Riemannových varietách je jedním z možných pokračování této přednášky.
Osnova:1. Motivace. Pojem křivosti v klasické teorii křivek a ploch.
2. Připomenutí základních nástrojů. Tenzory, variety a tečné prostory.
3. Riemannova metrika. Objemový element a integrování. Modelové prostory s konstantní křivostí.
4. Konexe. Kovariantní derivace tenzorových polí. Paralelní přenos podél křivek. Geodetiky.
5. Riemannovy geodetiky. Levi-Civitova konexe. Exponenciální zobrazení. Normální souřadnice. Geodetiky na modelových prostorech.
6. Geodetiky a vzdálenost. Geodetiky coby křivky minimalizující délku. První variace. Gaussovo lemma. Úplnost a Hopf-Rinow teorém.
7. Křivost. Lokální invarianty Riemannovy metriky. Tenzor křivosti. Ploché variety. Ricciho a skalární křivosti.
8. Riemannovy podvariety. Druhá fundamentální forma. Nadplochy v eukleeidovském prostoru, Gaussova křivost a Theorema Egregium. Sekcionální křivosti.
9. Gauss-Bonnetova věta. Umlaufsatz a Gauss-Bonnetova formule. Eulerova charakteristika topologické variety.
10. Jacobiho pole. Jacobiho rovnice. Konjugované body. Druhá variace.
11. Křivost a topologie. Srovnávací věty. Cartan-Hadamardova a Bonnetova věta.

Osnova cvičení:
Cíle:Schopnosti:
Osvojení si základního aparátu Riemannovy geometrie, který se bude hodit k dalšímu studiu moderních partií matematiky a matematické fyziky. Samostatným cílem přednášky je pochopení geometrického významu křivosti a jejího blízkého vztahu k topologii.

Dovednosti:
Rutinní práce s tenzorovým a variačním počtem na varietách, výpočet konexe a tenzoru křivosti z metrického tenzoru, řešení diferenciálních rovnic pro geodetiky a Jacobiho pole, integrace na varietách.
Požadavky:Základní kurzy analýzy na varietách a topologie (01DPV, 01TOP).
Rozsah práce:
Kličová slova:Riemannova geometrie, metrika, konexe, geodetika, křivost.
Literatura:Povinná literatura:
1. J. M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997.

Doporučená literatura:
2. M. P. do Carmo, Riemannian geometry, Birkhauser 1992.
3. O. Kovalski, Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, 1995.
4. M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Volumes I-V, Publish or Perish, 1999.
5. P. Petersen: Riemannian Geometry. Springer, 2016.

Quantum mechanics with non-self-adjoint operators

školitel: Mgr. David Krejčiřík, Ph.D., DSc.
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: dizertační práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://gemma.ujf.cas.cz/~david/
přiložený soubor: ikona pdf
popis: see the file
naposledy změněno: 25.03.2013 14:27:50

Operator theoretic approach to the theory of metamaterials

školitel: Mgr. David Krejčiřík, Ph.D. DSc.
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: dizertační práce
zaměření: MI_MM
přiložený soubor: ikona pdf
naposledy změněno: 22.12.2016 15:21:12

Metamateriály a fyzikální realizace neviditelnosti

školitel: David Krejčiřík
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
přiložený soubor: ikona pdf
popis: Záporná permitivita? Záporná permeabilita? Záporný index lomu a s tím související neviditelnost? Od přelomu milénia už ne pouhá fikce, avšak fyzikální realita uměle vyráběných kompozitních materiálů. Matematické modely vedou k nestandardním spketrálně-teoretickým úlohám (nesamosdruženost, neeliptičnost), jejichž vyšetřením bychom se chtěli zabývat.
poznámka: Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je uplatnění méně známých nastrojů operátorové teorie.
naposledy změněno: 14.11.2019 10:18:35

Kvantová mechanika s nehermitovskými operátory

školitel: David Krejčiřík
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
přiložený soubor: ikona pdf
popis: Koncept kvantové mechaniky je dobře chápán mimojiné díky existenci spektrálního rozkladu pro samosdružené operátory: každý takovýto operátor lze diagonalizovat a jeho spektrum je čistě reálné. V poslední době však došlo k nevídanému zájmu o teorie s nehermitovskými operátory, a to především díky pozorování, že existuje obrovská třída operátorů, jejichž spektrum je reálné (tedy v principu měřitelné) jako důsledek jistých (fyzikálních) symetrií namísto (matematické) samosdruženosti. Předmětem úkolu je formulace a řešení takovýchto spektrálních úloh při absenci standardního spektrálního rozkladu.
poznámka: Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je uplatnění méně známých nastrojů operátorové teorie.
naposledy změněno: 14.11.2019 10:17:58

Geometrický variační problém při digitálním zpracování obrazu

školitel: David Krejčiřík
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
přiložený soubor: ikona pdf
popis: Účinnou metodou k odstraňování šumu digitálních obrazových dat je pomocí tzv. ROF schématu, kdy se minimalizuje totální variace získaného signálu. Matematicky to vede k zajímavému geometrickému variačnímu problému, kdy se minimalizuje poměr obvodu vůči obsahu v třídě všech množin uzavřených v dané dvojrozměrné oblasti. Stejný problém a jeho zobecnění do vyšších dimenzí nachází uplatnění v dalších matematicko-fyzikálních oblastech (kolaps elastické membrány pod tlakem, získání trojrozměrného obrazu z fotografie, tvoření bublin, nelineární diferenciální počet, etc.). Úkolem studenta bude detailní nastudování matematické problematiky a bibliografická rešerše, v pozdější fázi odvození nových výsledků pro trubicové oblasti.
poznámka: Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fysikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýsy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je významný vliv geometrie na fyzikální vlastnosti, a zahrnuje tak navíc uplatnění základních znalostí z diferenciální geometrie a variačního počtu.
naposledy změněno: 14.11.2019 10:19:39

Matematické modely nanostruktur

školitel: David Krejčiřík
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
popis: V nedávné době došlo k nevídaným možnostem miniaturizace polovodičových součástek, jejichž uplatnění se očekává v nových generacích počítačů, jakožto i k vyvinutí nových materiálů typu grafen aspol. Z matematického hlediska se jedná o zajímavé problémy, jež kombinují úlohy parciálních diferenciálních rovnic nerelativistické i relativistické kvantové mechaniky a diferenciální geometrie. Předmětem úkolu je zkoumání spektrálních vlastností rozličných fyzikálních modelů v závislosti na geometrii.
poznámka: Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je významný vliv geometrie na fyzikální vlastnosti, a zahrnuje tak navíc uplatnění základních znalostí z diferenciální geometrie.
naposledy změněno: 14.11.2019 10:20:35

Stochastický cestovatel na varietách

školitel: David Krejčiřík
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
popis: Pravděpodobně nejjednodušším modelem, na kterém lze demonstrovat vliv křivosti na pohyb Brownovy částice, je realizace tohoto stochastického procesu na dvoudimenzionální Riemannově varietě. Matematicky se jedná o studium vlastností řešení rovnice vedení tepla na takovýchto geometricky netriviálních oblastech, což bude předmětem úkolu.
poznámka: Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je významný vliv geometrie na fyzikální vlastnosti, a zahrnuje tak navíc uplatnění základních znalostí z diferenciální geometrie a parciálních diferenciálních rovnic.
naposledy změněno: 14.11.2019 10:21:07

Spektrální geometrie: trable královny Dídó a nové výzvy

školitel: David Krejčiřík
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
přiložený soubor: ikona pdf
popis: Kruh má mezi všemi rovinnými útvary o daném obsahu nejmenší obvod [Dídó 900 BC]. Co se stane, pokud geometrickou kvantitu obvodu zaměníme jinou, tentokrát fyzikální charakteristikou? Pak například dobře známou analogií je fakt, že vibrující kruhová membrána s pevně uchycenými konci vydává nejnižší zakládní tón [Faber-Krahn AD 1923-4]. V nedávných letech došlo k neočekávanému pozorování, k němuž přispěl i sám školitel [AD 2015], že pro odlišné (i když stále homogenní) hraniční podmínky kruh přestane být optimální geometrií. Jaká oblast optimalizuje odpovídající fyzikální problém? To je v současné době velkou neznámou a úkolem studenta bude se seznámit s těmito typy spektrálně-geometrických úloh moderní matematiky a přispět k porozumění vyšetřením dílčích problémů analyticky či numericky (podle vkusu).
literatura: P. Freitas and D. Krejcirik, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter, Adv. Math. 280 (2015), 322-339.
poznámka: Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je významný vliv geometrie na fyzikální vlastnosti, a zahrnuje tak navíc uplatnění základních znalostí z diferenciální geometrie.
naposledy změněno: 14.11.2019 10:21:27

Quantum mechanics with non-self-adjoint operators: transition from spectra to pseudospectra

školitel: Mgr. David Krejčiřík, Ph.D., DSc.
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: dizertační práce
zaměření: MI_MM, MI_AMSM, MINF
odkaz: http://people.fjfi.cvut.cz/krejcirik
přiložený soubor: ikona pdf
naposledy změněno: 25.05.2018 15:53:53

Large-time behaviour of evolution systems

školitel: doc. Mgr. David Krejčiřík, Ph.D. DSc.
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: dizertační práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
přiložený soubor: ikona pdf
naposledy změněno: 29.05.2019 10:02:09

Imaginární magnetické pole a černé díry

školitel: David Krejčiřík
e-mail: zobrazit e-mail
typ práce: bakalářská práce, diplomová práce
zaměření: MI_MM
odkaz: http://nsa.fjfi.cvut.cz/david/
přiložený soubor: ikona pdf
popis: Magnetické pole je samo o sobě zajímavým konceptem v kvantové mechanice a vede k fyzikálním efektům, jež nemají klasickou analogii. Matematicky se jedná o neskalární poruchu parciální diferenciální rovnice, již lze elegantně popsat formalismem diferenciálních forem na varietách. Překvapením posledních let je navíc relevance magnetických polí s nenulovou imaginární složkou v matematickém popisu kvantové mechaniky, jakož i jejich experimentální realizace v kvantové statistické fyzice. Na druhé straně moderní fyziky se imaginární magnetické pole vyskytuje v relativistickém popisu stability rotujících černých děr. Úkolem studenta bude pochopení této formální matematické analogie mezi kvantovým pohybem nabitých mikročástic a prostoročasovým působením gravitace makrohmoty. Podle vkusu dále řešení různých teoretických (zvláště pak spektrálních) úloh s komplexními magnetickými poli.
literatura: D. Krejčiřík, Complex magnetic fields: An improved Hardy-Laptev-Weidl inequality and quasi self-adjointness, SIAM J. Math. Anal. 51 (2019) 790--807.
poznámka: Nabízím matematicky orientovaná témata, motivovaná jak moderní tak klasickou fyzikou, při jejichž studiu si adept prohloubí znalosti funkcionální analýzy, zvláště pak spektrální teorie. Rysem tohoto projektu je uplatnění méně známých nastrojů operátorové teorie.
naposledy změněno: 14.11.2019 10:27:48

za obsah této stránky zodpovídá: Radek Fučík | naposledy změněno: 7.8.2011
Trojanova 13, 120 00 Praha 2, tel. 224 358 540, pevná linka 224 923 098, fax 234 358 643
České vysoké učení technické v Praze | Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská | Katedra matematiky